Wie definiert man den Bahndrehimpuls in anderen als drei Dimensionen?

In der klassischen Mechanik mit 3 Raumdimensionen ist der Bahndrehimpuls definiert als

L = r × p .

In der relativistischen Mechanik haben wir die 4-Vektoren x μ und p μ , aber das Kreuzprodukt ist nur für 3 Dimensionen definiert. Wie definiert man also den Bahndrehimpuls zB in der speziellen Relativitätstheorie in Bezug auf 4-Vektoren? Oder allgemeiner in d Maße?

In der klassischen relativistischen Feldtheorie gibt es ein Objekt namens Pauli-Lubanski-Vektor, das sich im Ruhesystem des Systems auf einen gewöhnlichen 3-dimensionalen Drehimpuls reduziert (Google für diesen Begriff scheint leider keine elementare Webseite zu finden). Es gibt auch einen verallgemeinerten Drehimpulstensor (3. Rang), der mit dem symmetrischen Energieimpulstensor (2. Rang) konstruiert wird. Manifeste Lorentz-Invarianz ist möglich.
sehr interessant: Relativistic Angular Momentum von Nick Menicucci, 2001 „Seine Beziehung zu seinem 3-Vektor … ergibt sich aus der gleichförmigen Bewegung des Schwerpunkts … am auffälligsten ist die Unfähigkeit, ein System von Teilchen auf unendlich kleine Größe zu komprimieren, was neue erfordert Gedanken darüber, was „ein Punktteilchen mit Spin“ wirklich ist . Der Spinvektor und der Pauli-Lubanski-Vektor wurden diskutiert, die Thomas-Präzession wurde erklärt und berechnet, und zwei „Paradoxien“, die Drehmoment und Drehimpuls betreffen, wurden untersucht.“
@genneth Ich fand die Wikipedia-Erklärung "Winkelimpuls ist die 2-Form-Noether-Ladung im Zusammenhang mit Rotationsinvarianz" nicht sehr hilfreich. Also fügte ich dem Wikipedia-Artikel die Definition des Drehimpulses als antisymmetrischen Tensor zweiter Ordnung hinzu, wie sie von Lubos erklärt wurde.
gutes Zeug. Die Antwort von Lubos trifft in der Tat genau das Richtige.

Antworten (1)

Liebe Asmaier, du solltest nicht anschauen L → = x → × p → als primäre "Definition" der Größe, sondern als nicht triviales Ergebnis einer Berechnung.

Der Drehimpuls ist definiert als die Größe, die aufgrund der Rotationssymmetrie erhalten bleibt - und diese Definition ist völlig allgemein, unabhängig davon, ob die physikalischen Gesetze quantenmechanisch, relativistisch, beides oder nichts sind und ob sie Mechanik oder Feldtheorie sind oder nicht.

Um eine konservierte Ladung abzuleiten, kann man dem Noether-Verfahren folgen, das für alle Paare einer Symmetrie und eines Erhaltungsgesetzes gilt:

http://en.wikipedia.org/wiki/Noether_charge

Insbesondere der Drehimpuls lässt sich relativ problemlos auswerten – wenn der Untergrund rotationssymmetrisch ist. Die Tatsache, dass Sie schreiben L → da ein Vektor nur ein Buchhaltungsgerät ist, um sich an die drei Komponenten zu erinnern. Natürlicher, sogar außerhalb der Relativitätstheorie, sollten Sie sich vorstellen

L ich j = x ich p j − x j p ich
dh L ich j ist ein antisymmetrischer Tensor mit zwei Indizes. Ein solcher Tensor oder eine 2-Form kann auf einen 3-Vektor via abgebildet werden L ich j = ϵ ich j k L k aber es muss nicht sein. Und in der Relativitätstheorie sollte es nicht sein. In der Relativitätstheorie kann man also den Drehimpuls ableiten L μ v welches die 3 üblichen Komponenten enthält j z , z x , x j (bekannt als x , j , z Komponenten von L → ) sowie 3 zusätzliche Komponenten t x , t j , t z im Zusammenhang mit den Lorentz-Boosts, die etwas über die Erhaltung der Geschwindigkeit des Schwerpunkts wissen.

Übrigens der General x × p Ansatz bekommt kein zusätzliches "Gamma" oder andere Korrekturen bei hohen Geschwindigkeiten. Das liegt daran, dass Sie sich vielleicht vorstellen, dass es der Generator von Drehungen ist und Drehungen Übersetzungen sind (erzeugt von p → ), die linear von der Position abhängen x . Die Formel bleibt also im Wesentlichen unverändert. Bei typischen gekrümmten Hintergründen, die noch den Drehimpuls erhalten, bleiben die anderen nicht-räumlichen Komponenten des relativistischen Drehimpuls-Tensors normalerweise nicht erhalten, da der Hintergrund nicht gleichzeitig Lorentz-Boost-symmetrisch sein kann.

Außerdem bewahren alle asymptotisch flachen Raumzeiten einen GESAMTEN Drehimpuls L ich = ∮ d 2 x K a b r a e ich b , wo e ich b ist die Dyade der Oberfläche im Unendlichen, und K a b ist die extrinsische Krümmung der 3-Fläche in der 4-Raumzeit, und das Integral liegt über dem Schnittpunkt der 3+1-Scheibe und der konformen raumartigen Unendlichkeit. Es wird in diesen Raumzeiten einfach keinen allgemeinen koordinateninvarianten lokalen Drehimpulsstrom geben.
Eine alte Seite, aber .. Betrachten L ich j = x ich p j − x j p ich Ich merke das x und p sind duale Entitäten, für die man eine Kontraktion wie in erwarten würde P = F ⋅ v ( F = p ˙ , v = x ˙ ) und kein Außenprodukt wie hier? Z.B v ich F j − v j F ich bedeutet nichts, oder?
Zwei beliebige 3-Vektoren haben ein Kreuzprodukt. Was ist dein Problem damit? Das innere Produkt von x,p kann auch etwas bedeuten - es ist eine Erzeugung von Dehnungen - aber der Erzeuger von Drehungen ist das Kreuzprodukt. Das Kreuzprodukt aus Kraft und Geschwindigkeit könnte auch eine gewisse Bedeutung in der Physik haben - jedenfalls können Sie es sicher berechnen oder definieren, oder? Warum denkst du, oder in welchem ​​​​Sinne bedeutet ein wohldefiniertes Kreuzprodukt zweier Vektoren "nichts"?
L kann kurz als Keilprodukt ausgedrückt werden x ∧ p . Das Keilprodukt ist ein schönes mathematisches Konzept, das öfter gelehrt werden sollte. Ich habe hier eine verwandte Antwort dazu geschrieben .
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