Differenzieren eines Vektorprodukts

Question

Differenzieren eines Vektorprodukts

Physik
Vektoren
Drehimpuls
Rotationskinematik

Schwarzer Dolch

M_{ich} R_{ich} \times \frac{D^{2} R_{ich}}{D T^{2}} = \frac{D}{D T} (M_{ich} R_{ich} \times \frac{D R_{ich}}{D T})

$m_i\mathbf{r}_i\times\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\biggl(m_i\mathbf{r}_i\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}_i}{\mathrm{d}t}\biggr)$

Ich verstehe das nicht. Wie haben die $\mathrm{d}/\mathrm{d}t$ hinausgehen?

Selene Rouley

Verwenden Sie die Produktregel von Leibniz und beachten Sie dann, dass das Kreuzprodukt von allem mit sich selbst Null ist.

Antworten (2)

Differenzieren eines Vektorprodukts

Verwenden Sie die Produktregel von Leibniz und beachten Sie dann, dass das Kreuzprodukt von allem mit sich selbst Null ist.

JoshPhysik · Answer 1

Es gibt eine Identität für die Ableitung des Kreuzprodukts zweier Vektorfunktionen $\mathbf A(t)$ Und $\mathbf B(t)$ ;

\begin{aligned} \frac{D}{D T} (A \times B) = \frac{D A}{D T} \times B + A \times \frac{D B}{D T} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} (\mathbf A \times \mathbf B) = \frac{d\mathbf A}{dt}\times \mathbf B + \mathbf A\times \frac{d\mathbf B}{dt} \end{align}$ Wenn wir diese Regel mit der Berechnung verwenden, die Sie in Betracht ziehen, erhalten wir

\begin{aligned} \frac{D}{D T} (M_{ich} R_{ich} \times \frac{D R_{ich}}{D T}) = M_{ich} \frac{D R_{ich}}{D T} \times \frac{D R_{ich}}{D T} + M_{ich} R_{ich} \times \frac{D^{2} R_{ich}}{D T^{2}} = M_{ich} R_{ich} \times \frac{D^{2} R_{ich}}{D T^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt}\left(m_i\mathbf r_i\times \frac{d\mathbf r_i}{dt}\right) = m_i \frac{d\mathbf r_i}{dt}\times \frac{d\mathbf r_i}{dt} + m_i\mathbf r_i\times \frac{d^2\mathbf r_i}{dt^2} = m_i\mathbf r_i\times \frac{d^2\mathbf r_i}{dt^2} \end{align}$ wobei wir im letzten Schritt ausgenutzt haben, dass das Kreuzprodukt jedes Vektors mit sich selbst Null ist.

@vardhanamdaga Kennen Sie das Levi-Civita-Symbol und das Schreiben des Kreuzprodukts in Bezug darauf?
@vardhanamdaga Gibt es, aber sie sind algebraisch intensiver. Siehe zum Beispiel die Antwort von George Jones hier physicalforums.com/showthread.php?t=106405 . Sie werden viele andere Beweise finden, indem Sie dies übrigens googeln.
Der Beweis folgt aus der Bilinearität des Kreuzprodukts. Beweisskizze: $A(t+\Delta t) \times B(t+\Delta t) = (A(t) +\dot{A} \Delta t) \times (B(t) +\dot{B} \Delta t) = A(t) \times B(t) + A(t) \times \dot{B}(t) \Delta t + \dot{A}(t) \times B(t) \Delta t + \dot{A}(t) \times \dot{B}(t) (\Delta t)^2$ . Wir sehen das erste Auftragsstück ist $A(t) \times \dot{B}(t) \Delta t + \dot{A}(t) \times B(t) \Delta t$ , also ist die Ableitung $A(t) \times \dot{B}(t) + \dot{A}(t) \times B(t)$ . Ähnliche Beweise könnten für jede multilineare Funktion verwendet werden.

Student · Answer 2

Das Vektorprodukt eines Vektors $\vec{a}$ mit sich selbst ist immer null: $\vec{a} \times \vec{a} = 0$
Für zwei glatte vektorwertige Funktionen $\vec{a},\vec{b} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$ die Produktregel gilt:

\frac{D}{D T} (\vec{A} \times \vec{B}) = \frac{D}{D T} \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \frac{D}{D T} \vec{B}

$\frac{d}{dt} (\vec{a} \times \vec{b}) = \frac{d}{dt} \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \frac{d}{dt} \vec{b}$

Das sieht man zum Beispiel, wenn man die Komponenten ausschreibt (dann ist es nur die gewöhnliche Produktregel).

Nehmen wir zum Beispiel die erste Komponente:

\begin{aligned} {(\frac{D}{D T} (\vec{A} \times \vec{B}))}_{1} & = \frac{D}{D T} (A_{2} B_{3} - A_{3} B_{2}) \\ = \frac{D}{D T} (A_{2} B_{3}) - \frac{D}{D T} (A_{3} B_{2}) \\ = (\frac{D}{D T} A_{2}) B_{3} + A_{2} \frac{D}{D T} B_{3} - (\frac{D}{D T} A_{3}) B_{2} - A_{3} \frac{D}{D T} B_{2} \\ = (\frac{D}{D T} A_{2}) B_{3} - (\frac{D}{D T} A_{3}) B_{2} + A_{2} \frac{D}{D T} B_{3} - A_{3} \frac{D}{D T} B_{2} \\ = {(\frac{D}{D T} \vec{A} \times \vec{B})}_{1} + {(\vec{A} \times \frac{D}{D T} \vec{B})}_{1} \end{aligned}

$\begin{align} \left (\frac{d}{dt} (\vec{a} \times \vec{b}) \right)_1 &= \frac{d}{dt} (a_2b_3 - a_3 b_2)\\ &= \frac{d}{dt}(a_2b_3) - \frac{d}{dt}(a_3 b_2)\\ &= \left(\frac{d}{dt}a_2\right) b_3 + a_2 \frac{d}{dt} b_3 - \left(\frac{d}{dt}a_3\right) b_2 - a_3 \frac{d}{dt} b_2\\ &= \left(\frac{d}{dt}a_2\right) b_3 - \left(\frac{d}{dt}a_3\right) b_2 + a_2 \frac{d}{dt} b_3 - a_3 \frac{d}{dt} b_2 \\ &= \left(\frac{d}{dt} \vec{a} \times \vec{b}\right)_1 + \left(\vec{a} \times \frac{d}{dt} \vec{b}\right)_1 \end{align}$

Wenn Sie dies zusammensetzen, erhalten Sie Ihr Ergebnis:

\frac{D}{D T} (M_{ich} {\vec{R}}_{ich} \times \frac{D {\vec{R}}_{ich}}{D T}) = M_{ich} \frac{D {\vec{R}}_{ich}}{D T} \times \frac{D {\vec{R}}_{ich}}{D T} + M_{ich} {\vec{R}}_{ich} \times \frac{D^{2} {\vec{R}}_{ich}}{D T^{2}} = M_{ich} {\vec{R}}_{ich} \times \frac{D^{2} {\vec{R}}_{ich}}{D T^{2}}

$\frac{d}{dt}\left(m_i \vec{r}_i\times \frac{d \vec{r}_i}{dt}\right) = m_i \frac{d \vec{r}_i}{dt}\times \frac{d \vec{r}_i}{dt} + m_i \vec{r}_i\times \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2} = m_i\vec{r}_i\times \frac{d^2\vec{r}_i}{dt^2}$

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