Verwenden von Metriken zum Erhöhen des Differentialoperators

Gegeben L = − ich R × ∇ wir können dies in Polarkoordinaten ausdrücken als

L = ich e θ 1 Sünde ⁡ θ ∂ ∂ ϕ − ich e ϕ ∂ ∂ θ .
Wenn das folgt
(1) L 2 = − 1 Sünde ⁡ θ ∂ ∂ θ ( Sünde ⁡ θ ∂ ∂ θ ) − 1 Sünde 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ ϕ 2
wobei man vorsichtig sein muss, Ableitungen in Bezug auf die Basisvektoren selbst zu nehmen.

Alternativ kann ich in Indexnotation ausdrücken L als 3-Vektor L ich im metrisch definierten Kugelraum G ich J . Wenn ich dann gehe, um das innere Produkt zu nehmen, das ich bekomme

(2) L 2 = L ich L ich = G ich J L ich L J = 1 R 2 L 2 L 2 + 1 R 2 Sünde 2 ⁡ θ L 3 L 3 .

Offensichtlich stimmt (2) nicht mit (1) überein. Wie geht man mit der Metrik um, wenn es um Operatoren geht, und wie kommt man zu (2) mit der Metrik in Indexschreibweise?

Verwandte: Die Platzierung der Metrik in Polarkoordinaten scheint jetzt eine Rolle zu spielen L ich ( G ich J L J ) ≠ G ich J L ich L J .

Antworten (1)

Zuerst die "verwandte" Frage: In diesem Fall spielt es eine Rolle, weil im Allgemeinen G ich J = G ich J ( X ich ) und weil L ich Differentialoperatoren sind, ist es wirklich anders zu tun L G L oder G L L (schematisch).

Jetzt werde ich versuchen, ein ähnliches Problem zu lösen und das, an dem Sie gerade arbeiten, als Übung belassen. Betrachten Sie den Laplace-Operator in sphärischen Koordinaten. Wie kommen wir durch die Indexnotation darauf? Denken Sie daran, dass der Laplace-Operator nichts anderes als die Divergenz eines Gradienten ist. Somit gilt für ein allgemeines orthogonales Koordinatensystem

∇ 2 ≡ 1 G ∂ ∂ X ich ( G G ich ich ∂ ∂ X ich )   .

Die obige Gleichung folgt aus der Tatsache, dass der Gradient geschrieben werden kann als ∇ ich = G ich J ∂ ∂ X J = 1 G ich ich ∂ ∂ X ich und die (kovariante) Divergenz eines Vektors F → kann geschrieben werden als ∇ ich F ich = 1 G ∂ ∂ X ich ( G F ich ) . Dann wähle F → der Gradient sein und voilà.

Für den speziellen Fall der sphärischen Symmetrie haben wir G ich J = diag ( 1 , R 2 , R 2 Sünde 2 ⁡ θ ) Und X ich = ( R , θ , φ ) . G bezeichnet die Determinante von G ich J das heißt in diesem Fall R 4 Sünde 2 ⁡ θ . Dann haben wir

∇ 2 = 1 R 2 Sünde ⁡ θ [ ∂ ∂ R ( R 2 Sünde ⁡ θ ∂ ∂ R ) + ∂ ∂ θ ( R 2 Sünde ⁡ θ R 2 ∂ ∂ θ ) + ∂ ∂ φ ( R 2 Sünde ⁡ θ R 2 Sünde 2 ⁡ θ ∂ ∂ φ ) ] = 1 R 2 ∂ ∂ R ( R 2 ∂ ∂ R ) + 1 R 2 Sünde ⁡ θ ∂ ∂ θ ( Sünde ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + 1 R 2 Sünde 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ φ 2   .

Es sollte nicht allzu schwierig sein, die gewünschte Berechnung jetzt fortzusetzen.

Danke für dieses Beispiel. Können Sie erklären, wie die kovariante Ableitung in Polarkoordinaten auf eine Skalarfunktion wirkt? ∇ ich ϕ soll sich benehmen? Naiv möchte ich sagen ∇ ich ϕ = ∂ ∂ X ich ϕ - Das ist nicht richtig, aber ich sehe die Lücke in der Logik nicht. Ich kann die richtige Form für den Gradienten erhalten, wenn ich eine Koordinatentransformation von kartesisch nach polar durchführe, aber ich denke nicht, dass dies ein notwendiger Schritt sein sollte.
In einem kartesischen Koordinatensystem ∇ ich ϕ = ∂ ∂ X ich ϕ . In einem anderen Koordinatensystem müssen wir den Jacobi der Transformation einbeziehen ∇ ~ ich ϕ = ∂ X ~ J ∂ X ich ∂ ~ J ϕ (die Tilden geben zum Beispiel Polarkoordinaten an). Ich sehe derzeit keinen Weg daran vorbei.
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