Christoffel-Symbol am lokalen Inertialsystem

Da ich einen lokalen Punkt auf einer Mannigfaltigkeit immer als lokales Inertialsystem ausdrücken kann, ist das Christoffel-Symbol an diesem bestimmten Punkt immer Null. In Carrols Spacetime and Geometry zeigt Gleichung (3.128) die metrische Ableitung des Riemann-Tensors in einem lokalen Trägheitssystem, in dem das Christoffel-Symbol verschwindet. Aber warum verschwinden seine Derivate nicht? Ableitung von Null ist immer noch Null.

X bei Null ist X = 0 aber sein Deivativ ist dort nicht nicht Null. Das gleiche mit Γ .
Nur weil eine Funktion an einem Punkt verschwindet, heißt das nicht, dass die Ableitung verschwindet. z.B: F ( X ) = X , oder F ( X ) = Sünde ⁡ X oder F ( X ) = bräunen ⁡ X oder F ( X , j ) = ( X , j ) alle verschwinden am Ursprung, aber keine ihrer Ableitungen verschwindet. Die Ableitung hängt von den Werten der Funktion in einer offenen Umgebung des Punktes ab. Wenn die Funktion in einer offenen Umgebung identisch Null ist, dann werden alle Ableitungen in dieser offenen Umgebung identisch verschwinden.

Antworten (1)

Die Existenz von Riemann- Normalkoordinaten bedeutet, dass man Koordinaten an einem Punkt finden kann P so dass die Metrik geschrieben werden kann als

G μ v ( P ) = η μ v , G μ v , λ ( P ) = 0   ,
also haben wir auch Γ μ v λ ( P ) = 0 . Das bedeutet das nicht G μ v , λ σ ( P ) = 0 , also allgemein ∂ ρ Γ μ v λ ( P ) ≠ 0 .

Wie die anderen Kommentare sagen, kann eine Funktion sein 0 an einem Punkt , aber haben eine Ableitung ungleich Null; Ebenso bedeutet das Verschwinden seiner Ableitung an einem Punkt nicht, dass seine zweite Ableitung ungleich Null ist usw.

Siehe Abschnitt 3.3.1 dieses Skripts für Einzelheiten darüber, wie die Existenz von Normalkoordinaten gezeigt werden kann, oder für weitere Einzelheiten im Allgemeinen.

Ich dachte, das Symbol sei nur ein Koeffizient von Basisvektoren und behandelte das als Skalar anstelle einer Funktion. Danke an alle für die Beantwortung meiner Frage.
Es ist ein Koeffizient, aber die Vektoren ändern sich von Punkt zu Punkt.
Alle diese Größen sind Felder, die an jedem Raumzeitpunkt definiert sind P .
Christoffel-Symbol am lokalen Inertialsystem
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