Welche Bedingung erfüllen globale Koordinaten?

Dies kann eine dumme oder vage Frage sein:

Gibt es ein Kriterium, das ein metrischer Tensor erfüllen muss, damit Koordinaten, in denen er ausgedrückt wird, als global bezeichnet werden können? Oder alternativ, was ist die Definition von globalen Koordinaten? Warum ist zum Beispiel ein Koordinatensystem für A D S N als global bezeichnet werden, während andere es nicht sind?

Insbesondere frage ich nicht, ob globale Koordinaten existieren, sondern wie man überprüfen kann, ob eine Menge gegebener Koordinaten global ist. Durch Betrachtung des metrischen Tensors oder was dasselbe ist das Linienelement.

Dies könnte hilfreich sein < math.stackexchange.com/questions/1110580/… >
Tatsächlich könnte dies Ihre Frage < mathoverflow.net/questions/308925/… > beantworten
@N.Steinle Sie brauchen die Kleiner-als-/Größer-als-Symbole um Links herum nicht. Außerdem können Sie auch [text](link)die Notation für Hyperlinks verwenden.
"Matrix-Tensor" ist irgendwie überflüssig, da jeder Tensor ein linearer Operator ist und jede Matrix, die für die Physik von Interesse ist, sich wahrscheinlich als Tensor (oder etwas eng Verwandtes, wie eine Tensordichte) transformiert. Meinst du wirklich den metrischen Tensor? Wenn Sie nicht "metrischer Tensor" meinen, verstehe ich nicht, was das Material über einen "Matrix-Tensor" mit dem Rest der Frage zu tun hat - welche Matrix haben Sie im Sinn und warum sollte es so sein? relevant?
Dieser Matrixteil war ein seltsamer Tippfehler. Natürlich meinte ich metrisch, ich habe das behoben. Auch die Links, die N. Steinle geschickt hat, sind meines Erachtens eher existenzbezogen. Ich habe jedoch gefragt, wie man nach einer bestimmten Auswahl von Koordinaten suchen kann, wenn sie global ist.

Antworten (2)

Die absolute Mindestanforderung für die Verwendung eines Koordinatendiagramms in der Allgemeinen Relativitätstheorie besteht im Wesentlichen darin, dass die als Matrix ausgedrückte Metrik immer endlich und invertierbar ist. Das heißt, beides G ich J Und G ich J muss vorhanden sein. Dies erfordert sowohl, dass die Metrik nicht entartet ist (was ein koordinatenunabhängiges Kriterium ist, im Grunde muss die Metrik die richtige Signatur haben) und dass es keine Koordinatensingularitäten gibt, wenn die Metrik komponentenweise in Bezug auf diese bestimmten Koordinaten ausgedrückt wird.

Je nachdem, was wir tun möchten, werden wir in der Regel strengere Anforderungen an die Ordnungsmäßigkeit stellen wollen. Zum Beispiel möchten wir wahrscheinlich, dass die Metrik, ausgedrückt in diesen Koordinaten, so ist, dass wir die Ableitungen nehmen können, die zur Berechnung des Riemann-Tensors erforderlich sind – sonst könnten wir die Einstein-Feldgleichungen nicht aufstellen.

Ein gültiger Satz globaler Koordinaten ist einfach ein gültiges Koordinatendiagramm, das alle Punkte in der Raumzeit abdeckt. Es ist nicht erforderlich, dass wir in einem globalen Diagramm arbeiten oder dass ein solches Diagramm existiert.

Ist also ein ausreichendes Kriterium, dass die Determinante an jedem Punkt ungleich Null ist (Invertierbarkeit, die Sie erwähnt haben) und dass es keine Singularitäten im Wertebereich gibt, für den Variablen definiert sind?
@Michael: Das wäre notwendig, aber für die meisten Zwecke nicht ausreichend. Der zweite Absatz meiner Antwort beschreibt strengere Kriterien, die für viele Zwecke in GR notwendig und ausreichend wären. Es gibt kein allgemein vereinbartes Kriterium dafür, was die richtige Regelmäßigkeitsbedingung ist, da es in gewissem Maße davon abhängt, was Sie zu tun versuchen. Wenn Sie sich beispielsweise ein mathematisch strenges Buch wie Hawking und Ellis ansehen, beschreiben sie eine ganze Familie unterschiedlicher Regularitätsbedingungen, die je nach Bedarf erhöht oder verringert werden können.
Ok hört sich gut an. Ich habe Ihre Antwort als die beste für diese Frage akzeptiert

Grundsätzlich liegt dies an der Topologie der Raumzeit. Es liegt auch daran, wie wir Koordinaten darstellen.

Nehmen Sie eine Kugel - zum Beispiel die Erde. Wenn wir versuchen würden, mit der Art von Diagrammen darzustellen, die wir in Büchern sehen – das ist ein Quadrat –, sehen wir, dass wir dies niemals mit nur einer Seite tun können – wir brauchen immer mehr als eine. Dies liegt daran, dass ein Quadrat im Wesentlichen flach ist, eine Kugel jedoch nicht.

Wenn wir stattdessen versuchen würden, es mit einem Globus darzustellen, sehen wir sofort, dass nur einer notwendig ist.

Nun stützt sich der mathematische Apparat der Differentialgeometrie auf einen Atlas von Patches, und diese Patches sind hier nur nach dem Analogon von Quadraten modelliert – euklidische Räume. Es erlaubt keine andere Art.

Wenn Sie also die Raumzeit als Kugel modellieren und Standard-Differentialgeometrie verwenden, um sie darzustellen, wird Ihr Atlas nicht global sein – in dem Sinne, dass er nur einen Patch benötigt – er wird immer mehr als einen benötigen.

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