Geometrische Sichtweise der harmonischen Zwangsbedingungen (Δgij=0Δgij=0\Delta g_{ij}=0) in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das$\Delta g_{ij} = 0$Wie Sie es definieren, ist es gleichbedeutend mit der Aussage, dass der Gradient aller metrischen Komponenten eine verschwindende Divergenz aufweist

$$g_{ij;k}{}^k \equiv g^{k\ell}g_{ij;k\ell} = 0.$$ Hier ist es wichtig, daran zu denken, dass die Indizes $i,j$Funktionen bezeichnen. Um dies zu klären, lassen wir $g_k$den Gradienten einer beliebigen Komponentenfunktion darstellen $g_{ij}$. Daher $$g_k := g_{ij;k}.$$

Betrachten Sie dann den Hodge-Sternoperator$*: \Omega^k(M) \to \Omega^{n-k}(M)$von denen wir annehmen können, dass sie definiert sind

$$*\alpha = \sqrt{|\det[g_{ij}]|}\alpha^{\vec{J}}\epsilon_{\vec{J}\vec{I}}\omega^{\vec{I}},$$ Wo $\omega^i$ist das lokale Rahmenfeld eingeschaltet $T^*M$, $\epsilon_{i_1\ldots i_n}$ist der $n$-dimensionales Levi-Civita-Symbol und $\vec{I},\vec{J},\ldots$bezeichnen streng steigende Multi-Indizes geeigneter Länge (oben $\vec{J}$ist von Länge $k$Und $\vec{I}$ist von Länge $(n-k)$). Zur Vereinfachung der Notation nehmen wir $\varepsilon_{I} := \sqrt{|\det[g_{ij}]|}\epsilon_{I}$der Levi-Civita-Tensor sein.

Im Fall einer 1-Form ist das Hodge-Dual im Wesentlichen a$(n-1)$-Form vollständig orthogonal zur ursprünglichen 1-Form. Für lassen$\alpha_i$sei die 1-Form, dann Kontraktion auf irgendeinem Index mit$*\alpha$Erträge

$$\alpha^i\alpha^j\varepsilon_{ik_1\ldots k_{r-1} j k_{r+1} \ldots k_n} = 0.$$

Es sollte daher nicht überraschen, dass der Hodge-Sternoperator verwendet werden kann, wenn Strömungen über eine Oberfläche betrachtet werden. Betrachten Sie zur Präzisierung eine Hyperfläche,$\Sigma$, definiert durch die Normale$\eta_i$, die wir zunächst als nicht null und normalisiert annehmen. Dann ist das invariante Flächenelement von$\Sigma$wird von gegeben$*\eta$, und durch Notationsmissbrauch können wir das gerichtete Oberflächenelement mit bezeichnen$d\Sigma_i := \eta_i{*\eta}$. Wir können aber auch schreiben

$$d\Sigma_i = \varepsilon_{i\vec{J}}\omega^{\vec{J}}|_\Sigma,$$ Wo $|_\Sigma$bezeichnet die Projektion auf die Oberfläche $\Sigma$. Um diese zu sehen, beachten Sie diese Kontraktion mit $\eta_i$erzeugt das gleiche Ergebnis für beide Ausdrücke von $d\Sigma_i$, ebenso wie die Kontraktion mit jeder 1-Form oder jedem Vektor, der orthogonal zu ist $\eta_i$. Der letztere Ausdruck ist jedoch auch für Null-Hyperflächen wohldefiniert und gibt durch Stetigkeit auch in diesen Fällen das gerichtete Flächenelement an.

Dies kann leicht impliziert werden, dass die Komponentenfunktionen keine lokalen Maxima oder Minima haben, gemäß dem Satz von Stoke über glatte Mannigfaltigkeiten. Angenommen, es gibt ein lokales Minimum bei$p$, dann gibt es eine Region mit Rand,$V$, enthält$p$so dass

$$\int_{\partial V} g^{k}d\Sigma_k \neq 0,$$ Aber nach dem Satz von Stoke auf glatten Mannigfaltigkeiten $$\int_{\partial V}g^{k}d\Sigma_k = \int_Vd\left(g^{k}d\Sigma_k\right) = \int_V g^k{}_{;k}dV.$$

Abhängig von Ihren Vorlieben kann der endgültige Ausdruck in einem Koordinatenrahmen aus der Formel bestätigt werden

$$X^j{}_{;j} = \frac{1}{\sqrt{|\det g|}}\left(\sqrt{|\det g|}X^j\right)_{,j},$$ die in Koordinatensystemen gültig ist und aus der Jacobi-Formel für die Ableitung einer Determinante folgt; in einem starren Rahmen aus der ersten Cartan-Gleichung $$d\omega^i = \omega^j\wedge\gamma^i{}_j,$$ Wo $\gamma^i{}_j$sind die Verbindungsformen; und in einem gemischten Rahmen aus beiden.

BEARBEITEN : Ich hatte zuvor fälschlicherweise festgestellt, dass die Komponentenfunktionen Konstanten sein müssen, wobei lokale Kompaktheit verwendet wird. Das obige Argument funktioniert jedoch nur im Inneren der Region. Wir können daher nur sagen, dass die Funktion so ist, dass jedes lokale Minimum oder Maximum am Rand liegen muss, und insbesondere darf es keine lokalen Minima oder Maxima auf offenen Gebieten geben. Natürlich erfüllen Funktionen mit konstanten Komponenten die Bedingung immer noch, aber es gibt eine breitere Klasse von Funktionen, die dies tun.