Wann und wo ist die formale Definition einer Mannigfaltigkeit zu überprüfen?

In den meisten Texten über GR werden wir zuerst in eine formale und strenge Definition einer Mannigfaltigkeit eingeführt.

Wir lernen dann den Punkt, dass in GR "irgendein Koordinatensystem" für die 4D-Raumzeitmetrik verwendet werden könnte. Die Einstein-Gleichung bezüglich Krümmung und Energie ist aufgrund des Tensortransformationsgesetzes unabhängig davon unveränderlich. Anders ausgedrückt, wir sind nicht nur auf lineare Lorentz-Transformationen wie in SR beschränkt, daher ist GR tatsächlich die allgemeine Relativitätstheorie.

Aber ich habe in GR-Texten keine Beispiele gesehen, in denen die strenge Definition der Mannigfaltigkeit, dh dass es in einem Atlas, der die gesamte Mannigfaltigkeit abdeckt, glatte Karten geben muss, jedes Mal explizit verwendet wird, wenn wir ein neues Koordinatensystem einführen.

Die Frage ist, wann und wo muss man das überprüfen und verlässt sich nicht auf ein intuitives Gespür?

Oder können Sie ein Beispiel vorschlagen, in dem wir ein neues beliebiges Koordinatensystem aufbauen und die gesamte Mannigfaltigkeit nicht durch einen maximalen Atlas abgedeckt werden kann?

Sollten wir über die Verletzung der Definition der Mannigfaltigkeit nur dann beunruhigt sein, wenn wir metrische Singularitäten in allen möglichen Kandidaten-Koordinatensystemen sehen, zB beim Urknall oder in einem Schwarzen Loch?

Deine Frage ergibt für mich keinen Sinn. Wenn GR in einem einzigen Koordinatensystem durchgeführt wird, dann ist die Behauptung einfach, dass die "Mannigfaltigkeit" die durch dieses Diagramm definierte Mannigfaltigkeit ist . Wenn die Behauptung lautet, dass die gesamte Mannigfaltigkeit nicht in einem Diagramm erfasst werden kann (zB Kugeln), dann müssen Sie einen Atlas für die gesamte Mannigfaltigkeit angeben (bei den Kugeln können Sie zB die beiden stereografischen Projektionen wählen). Können Sie vielleicht ein Beispiel für einen Fall nennen, in dem Sie der Meinung sind, dass diese "Prüfung", von der Sie sprechen, nicht durchgeführt wurde, aber durchgeführt werden sollte?
Mein Punkt: Für die Mannigfaltigkeit wird eine strenge Definition eingeführt. Dies bietet dann eine vollständige Freiheit, die Raumzeit in kartesischen oder Polarkoordinaten zu mischen. Aber wir überprüfen diese Definition nie wieder in GR-Texten. Ich interessiere mich für Beispiele in GR-Metriken, die zeigen, dass die vielfältigen Definitionen zusammenbrechen. Können wir zum Beispiel zeigen, dass der Urknall nicht in der Mannigfaltigkeit ist, oder können wir keinen Atlas finden, der diesen Punkt in der Raumzeit abdeckt?
Ich habe Probleme herauszufinden, was das OP als Antwort auf diese Frage haben möchte, weil nicht klar ist, was sie ausschließen. In der Frage scheinen sie den Urknall und Schwarze Löcher auszuschließen, aber in einem Kommentar nennen sie den Urknall als Beispiel für etwas, das sie gerne angesprochen hätten.

Antworten (1)

Vorhandensein glatter Strukturen

Sie fragen, wann eine (topologische) Mannigfaltigkeit funktioniert M nicht durch einen glatten Atlas abgedeckt werden. Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, ist "wann lässt eine Mannigfaltigkeit eine glatte Struktur zu".

Dies ist ein gut untersuchtes Problem. Es stellt sich heraus, dass Beispiele für Mannigfaltigkeiten, die keine glatten Strukturen zulassen, nur in Dimensionen vorkommen ≥ 4 (siehe zB Differentialstrukturen, Wikipedia ). Insbesondere können Sie keine Mannigfaltigkeit in der Dimension finden < 4 die keine glatte Struktur zulassen.

Warum die Raumzeit immer glatt ist

Soweit ich weiß, tauchen Beispiele von Mannigfaltigkeiten, die keine glatten Strukturen zulassen, in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht auf. Hier ist der Grund:

In der Allgemeinen Relativitätstheorie lösen Sie Einsteins Gleichungen in einer Nachbarschaft, die homöomorph zu einer Teilmenge von ist R N (möglicherweise mit einfachen periodischen Identifizierungen), dann nennen wir eine Untermannigfaltigkeit dieser Nachbarschaft, in der die Lösung brav ist, unsere Raumzeit. Daher erbt unsere Raumzeit durch die Einbettung eine glatte Struktur R N .

Für jede Mannigfaltigkeit mit a C 1 Struktur, gibt es eine kompatible glatte Struktur auf dieser Mannigfaltigkeit. Daher nur streng C 0 Mannigfaltigkeiten lassen keine zu, und diese haben kein wohldefiniertes Tangentenbündel, das für eine Raumzeit notwendig ist.
Wann und wo ist die formale Definition einer Mannigfaltigkeit zu überprüfen?
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