Minkowski-Raumzeit-konforme Unendlichkeit: Warum nicht den gesamten Bereich von RRR zulassen?

Grundsätzlich möchten Sie einen Griff haben, um von den Begrenzungspunkten "im Unendlichen" zu sprechen, und nicht einige getrennte Kopien oder Folierungen des Minkowski-Raums hinzufügen. Mit anderen Worten, der zusätzliche Platz, den Sie hinzufügen, indem Sie von dort ausgehen$R<\pi$Zu$R\leq \pi$können als Begrenzungspunkte des ursprünglichen Raums betrachtet werden, während sie zu gehen$R<\infty$fügt viel zusätzlichen Platz hinzu, der nicht einfach auf die ursprünglichen Koordinaten zurückgeführt werden kann.

Wegweise würde sich ein ausgehender Lichtstrahl im Minkowski-Raum asymptotisch annähern$R=\pi$, wird aber keinen Wert erreichen$R>\pi$.

Update: Sie können sich die Grenzpunkte des Minkowski-Raums intuitiv als die Punkte vorstellen, an denen$t$oder$r$„unendlich werden“. (Beachten Sie, dass die Winkelkoordinaten hier keine große Rolle spielen, also könnte es im Grunde eine beliebige Anzahl davon geben.) Angesichts der Tatsache, dass die ursprüngliche Metrik ist$\text{d} s^2=-\text{d} t^2+\text{d} r^2+\dots$, diese Grenzpunkte können räumlich unendlich weit entfernt sein,$\int\text{d} s^2\to\infty$, oder Zeit,$\int\text{d} s^2\to-\infty$, oder unendlich weit draußen in affiner Entfernung entlang Null-Geodäten. Das konforme Diagramm bildet die unendlichen Bereiche von ab$t$Und$r$zu endlichen offenen Intervallen (z$T$Und$R$), und durch Hinzufügen der Endpunkte haben wir eine klar definierte Art, über die "Punkte im Unendlichen" zu sprechen und wie sie sich auf die kausale Struktur der Raumzeit beziehen.

Für den Anfang würde der metrische Tensor für unendlich werden$|U|,|V|=\frac{\pi}{2}$, daher ist die Koordinatenerweiterung von OP nicht zulässig.

Nach den Kommentaren von @BenCrowell habe ich besser über die Frage nachgedacht und glaube, die Antwort selbst gefunden zu haben. Ich poste meine Schlussfolgerungen. Wenn es in irgendeiner Hinsicht falsch ist, möchte ich in den Kommentaren gewarnt werden.

Die „Motivation“ für all das wäre, die Unendlichkeit als „Ort“ zu realisieren. Die Idee der Unendlichkeit hängt dann davon ab, wie wir uns ihr nähern: durch zeitähnliche Linien, lichtähnliche Linien oder raumähnliche Linien. Welche wir wählen, hängt natürlich von dem vorliegenden Problem ab.

Um zum Beispiel Strahlung zu analysieren, die von einem masselosen Klein-Gordon-Feld ins Unendliche getragen wird, müssten wir uns durch lichtähnliche Linien der Unendlichkeit nähern. Um asymptotische In/Out-Zustände mit masselosen Partikeln anzugeben, müssten wir uns auch durch lichtähnliche Linien und so weiter der Unendlichkeit nähern.

Bei der Annäherung durch lichtartige Linien wird heuristisch gesehen klar, dass dieser "Ort" erreicht würde, indem man Null-Geodäten folgt, bis man deren Endpunkte erreicht. Diese Geodäten fallen in zwei Kategorien: die eingehenden und ausgehenden. Zur Beschreibung führen wir Koordinaten ein$u = t-r$Und$v=t+r$die jeweils die Bedeutung haben:

1. $u$bei einem Ereignis ist die Koordinatenzeit, zu der ein Beobachter am Ursprung Licht emittiert, das dieses Ereignis erreicht.
2. $v$bei einem Ereignis ist die Koordinatenzeit, zu der ein Beobachter am Ursprung weit entfernt emittiertes Licht wahrnimmt, das bei diesem Ereignis detektiert wird.

Die einfallenden lichtähnlichen Geodäten sind dann$v$Konstante Linien und die ausgehenden lichtartigen Geodäten sind dann$u$konstante Linien.

Der „Ort“, den wir als Unendlichkeit für lichtähnliche Richtungen definieren möchten, sind die Endpunkte dieser Geodäten.

Wir stehen jedoch vor einem Problem. Die Minkowski-Raumzeit ist geodätisch vollständig. Das bedeutet, dass die nicht erweiterbaren Geodäten bereits alle möglichen Endpunkte enthalten. Also auch wenn wir "unendlich näher ziehen", indem wir die Koordinaten umwandeln$U=\arctan u$Und$V = \arctan v$die entsprechenden Endpunkte$U,V=\pm \pi/2$kann nicht zur Minkowski-Raumzeit hinzugefügt werden.

Dies spiegelt sich in der Metrik wider. Wie in den Kommentaren erwähnt, ist die Metrik für diese Diskussion von wesentlicher Bedeutung. In$U,V$Koordinaten wird die Metrik

Es ist klar, dass an den so gesuchten Endpunkten dieser Geodäten$ds^2$explodiert als Reflexion, dass die Minkowski-Raumzeit bereits geodätisch vollständig und daher als pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit nicht erweiterbar ist.

Physikalisch würde dies die Tatsache widerspiegeln, dass unsere Transformation eine Maßstabsänderung vorgenommen hat, um das Unendliche näher zu bringen, aber im Unendlichen sollte es eine unendliche Dehnung geben, da es ursprünglich unendlich weit entfernt war.

Wir können jedoch den abweichenden Begriff fallen lassen und eine völlig neue Metrik in Betracht ziehen , die ist

Jetzt die gleichen Koordinatenbereiche$U,V$für Minkowski ist die Raumzeit mit dieser Metrik eine andere Raumzeit und diese ist geodätisch nicht vollständig. Dieser kann tatsächlich erweitert werden, indem die Endpunkte der Geodäten hinzugefügt werden.

Die Verlängerung kann natürlich in den Koordinaten erfolgen$U,V$. Dennoch sehen wir aus der Metrik, dass es in Bezug auf periodisch ist$V-U$. Daher wird die gewünschte Erweiterung in Bezug auf periodisch sein$V-U$.

Einführung$V-U = R$als eine neue Koordinate und$T = U+V$Als Begleiter sehen wir das auch, wenn wir verlängern$R$Um die gesamte reale Linie zu durchlaufen, werden wir nur "doppelte Etiketten" für dieselben Ereignisse einführen, da die von uns durchgeführte Erweiterung konsequent sein muss$\pi$-periodisch ein$R$.

In dieser Einstellung können wir zum Beispiel einen der möglichen Bereiche nehmen$0\leq R\leq \pi$während es obendrein keine solche Periodizitätsanforderung gibt$T$die frei ablaufen darf$-\infty$Zu$\infty$.

Damit erhalten wir schließlich eine neue unphysikalische Raumzeit$(M,\tilde{g})$dessen Region von beschrieben$U,V\in (-\pi/2,\pi/2)$ ist keine Minkowski-Raumzeit , die nicht dehnbar war, sondern ist konform mit der Minkowski-Raumzeit, was die ursprüngliche Maßstabsänderung widerspiegelt, die eingeführt wurde, um die Unendlichkeit näher zu bringen.

Die so ersehnte Unendlichkeit$\mathscr{I}$wird dann auf dieser unphysikalischen Mannigfaltigkeit mit der unphysikalischen Metrik definiert, die die gewünschte Erweiterung zuließ.