Winkelimpuls & Kreuzprodukt

Ja, beide Formeln sind in der klassischen Mechanik und für ein einzelnes Teilchen oder Äquivalent gleich , was der Fall ist. Das ist, weil

$\vec{L}=\vec{r}\times \vec{p}=\vec{r}\times(m\vec{v})=m(\vec{r}\times \vec{v})$

da das Kreuzprodukt in beiden Komponenten linear ist (Sie können Skalare außerhalb extrahieren und in einen der Faktoren einfügen).

Ihr Beispiel ist falsch, weil Sie die Vektoren vergessen haben! Der Hut ^ bezeichne den Einheitsvektor in dieser Richtung, dh$\hat{r}$ist der Einheitsvektor in radialer Richtung und$\hat{v}$ist der Einheitsvektor in Geschwindigkeitsrichtung.

Dann kannst du schreiben

$\vec{L}=5 kg \cdot (2m\cdot \hat{r})\times (4 m/s \ \ \hat{v})$

und extrahieren Sie dann Skalare außerhalb:

$\vec{L}=5 kg\cdot 2m \cdot 4 m/s \cdot (\hat{r}\times \hat{v})$

Also ja, Sie können die Multiplikation gleichmäßig durchführen, aber ohne den Vektor zu vergessen. Natürlich ist dieses Kreuzprodukt auch ein Einheitsvektor senkrecht zu beiden$r$Und$v$gleichzeitig, vorausgesetzt$\vec{r}\perp\vec{v}$(Sonst ist das Ergebnis$\sin \theta$mal der Vektor. Nennen wir es$\hat{n}$. Du hast

$\vec{L}=(5 kg\cdot 2m \cdot 4 \frac{m}{s}) \cdot \sin \theta \ \hat{n}\\$

Und

$\\ |\vec{L}|=5 kg\cdot 2m \cdot 4 \frac{m}{s}\cdot \sin \theta \ $

Beide Formeln sind richtig .

Wann immer Sie mit Formeln auf Schwierigkeiten stoßen, sollte Ihre erste Zuflucht die Dimensionsanalyse sein. Die Dimension von$L$Ist$[M L^2 T^{-1}]$.

Die Dimension von RHS der zweiten Formel ist:$[L]×[M]×[L T^{-1}] = [M L^2 T^{-1}]$, das sind die Abmessungen von LHS. Also ist die zweite Formel richtig.

In Vektorschreibweise ist die zweite Formel eigentlich$\vec{L} = m(\vec{r} × \vec{v})$. Dies wird aus der ersten Formel abgeleitet, indem einfach die Masse aus dem Kreuzprodukt herausgenommen wird, da die Masse eine skalare Größe ist.

Genau wie @WrichikBasu in seiner Antwort angegeben hat, lautet die richtige Formel für den Drehimpuls

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m \vec{v}) = m ( \vec{r} \times \vec{v} )$$

Das Obige gilt für ein System von jeweils lokalisierten Teilchen$\vec{r}_i$vom Ursprung, mit dem Gesamtdrehimpuls um den Ursprung

$$\vec{L}_{\rm origin} = \sum_i m_i (\vec{r}_i \times \vec{v}_i )$$

Nach viel Mathematik wird das Obige als bewertet

$$\vec{L}_{\rm origin} = {\rm I}_C \omega + \vec{r}_C \times \vec{p} = {\rm I}_C \omega + \vec{r}_C \times m\vec{v}_C$$ Wo $\vec{r}_C$ist die Position des Massenmittelpunkts, $\vec{v}_C$die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts und ${\rm I}_C$das Massenträgheitsmoment um den Massenmittelpunkt.