Allgemeine Definition von Vektor, Spinor und Spin

Alles hängt davon ab, wie sich Ihre Felder (Vektoren und Spinoren sind Felder in der klassischen Theorie, und wenn Sie in QFT quantisieren, werden sie zu Feldern mit Operatorwerten) transformieren, wenn Sie eine Lorentz-Transformation durchführen:

• Ein Skalar ist ein Feld, das sich überhaupt nicht ändert:$\phi'(x') = \phi(x)$. Beispiele sind Higgs und Pionen.

• Ein Vektorfeld ist ein Feld, das sich wie ein relativistischer Vierervektor transformiert$A'_\mu (x') = {\Lambda^\nu}_\mu A_\nu(x)$, Wo$\Lambda$ist eine Lorentztransformation. Beispiele sind das elektromagnetische Feld (Photonen) und Gluonen.

• Eine Spinorfeldtransformation unter Verwendung eines anderen Satzes von Matrizen

  $$\psi'(x') = \exp\left[(-i \vec{\theta} \pm\vec{\eta}) \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2}\right] \psi(x)$$ Wo$\vec{\theta}$sind die Drehwinkel entlang der Achsen,$\vec{\eta}$die Schnelligkeit u$\vec{\sigma}$die Pauli-Matrizen. Wie Sie sehen können, sind Pauli-Matrizen 2x2-Matrizen, also wirkt diese Transformation auf Objekte mit zwei Komponenten, den Weyl-Spinoren . Ich habe zwei Zeichen geschrieben,$\pm$, weil es zwei Arten von Transformationen gibt, die auf zwei Arten von Spinoren wirken:$-$für Linkshänder _$\psi_L$Und$+$für Rechtshänder _$\psi_R$. Aber Weyl-Spinoren haben zwei Probleme: Wenn Sie eine Paritätstransformation ($\vec{r} \to -\vec{r}$), ändern Spinoren ihre Händigkeit , und wir wissen, dass QED und QCD unter Parität unveränderlich sind. Und das andere ist, wie Sie sagen, dass Weyl-Felder masselos sein müssen.

• Der Dirac-Spinor löst beide Probleme. Es liegt eben (in der chiralen Darstellung) ein linkshändiger und ein rechtshändiger Weyl-Spinor nebeneinander

  $$\psi = \begin{pmatrix} \psi_L\\ \psi_R \end{pmatrix}$$ Der Dirac-Spinor kann Masse haben (obwohl masselose Dirac-Spinoren in Ordnung sind). Elektronen, Myonen, Taus, Neutrinos und Quarks werden als Dirac-Felder bezeichnet.

• Der Majorana-Spinor ist ein spezieller Dirac-Spinor, bei dem der linkshändige und der rechtshändige Teil nicht unabhängig voneinander sind. Diese Beziehung bedeutet, dass ein Majorana-Teilchen gleich seinem Antiteilchen ist. Daher hat das Majorana-Feld keine elektrische Ladung. Obwohl Sie nur einen Weyl-Spinor benötigen, um einen Majorana-Spinor zu bestimmen, können Majorana-Felder immer noch Masse haben. Es wird vermutet, dass Neutrinos Majorana-Teilchen sein könnten (es gibt mehrere Experimente, die dies untersuchen).

Also, wo ist der Spin? Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße, die sich auf Rotationen bezieht. Wendet man den Satz von Nöther auf ein Feld an, erhält man zwei Terme: Der eine hängt von der Bewegung der Teilchen ab (das Bahndrehmoment) und der andere nicht (der Spin ). Der Spin-Teil bezieht sich auf die Art der Lorentz-Transformation, die das Feld verwendet: In Skalarfeldern gibt es keinen Spin-Term (sie haben Spin 0), in Spinor-Feldern ist es eine Darstellung von Drehungen der Dimension 2 (Spin 1/2), und in Vektorfeldern eine Darstellung von Rotationen der Dimension 3 (Spin 1).