Triplett-Zustände, Dicke-Zustände und symmetrische Spin-1-Zustände

Das lässt sich nicht so einfach verallgemeinern, obwohl es Sonderfälle gibt.

Betrachtet man die$n$-fache Kopplung der fundamentalen Darstellung von jedem$SU(n)$Gruppe können Sie die Schur-Weyl-Dualität verwenden und sofort die Symmetrie der resultierenden Zustände aus der Symmetrie der dualen Darstellung der symmetrischen Gruppe ableiten. Für$SU(2)$siehe diese verwandte Antwort auf diese Frage .

Bei Kopplung von 2 beliebigen gleichen Drehimpulsen lässt sich die Permutationssymmetrie aus der Symmetrie des entsprechenden Clebsch-Gordan-Koeffizienten ableiten :

$$\begin{align} C^{LM}_{\ell_1m_1;\ell_2m_2}=(-1)^{\ell_1+\ell_2-L}C^{LM}_{\ell_2m_2;\ell_1m_1} \end{align}$$ Also in deinem Beispiel die Kopplung von zwei$\ell_1=\ell_2=\ell$Drehimpulszustände sind symmetrisch, wenn$2\ell-L$ist gerade und antisymmetrisch, wenn$2\ell-L$ist ungerade. Dies gilt für jeden Wert von$\ell$.

Die Strategie würde für zwei Irreps von irgendetwas gelten, aber die CGs sind nicht so leicht verfügbar, also kein praktischer Weg.

Für die Kopplung mehrerer$\ell=1$sagt, kann man den Schur-Weyl-Trick anwenden, weil die$\ell=1$Zustände sind eine Grundlage für die grundlegende Darstellung von$(1,0)$(oder$\mathbf{3}$) von$SU(3)$. Dann ergibt die doppelte Kopplung die$SU(3)$irreps$(2,0)\oplus (0,1)$und die Verzweigungsregeln geben

$$\begin{align} (2,0)\downarrow L=2\oplus L=0\, ,\qquad (0,1)\downarrow L=1 \end{align}$$ So heißt es in$(2,0)$sind symmetrisch und Zustände in$(0,1)$antisymmetrisch. Die Verzweigungsregeln wurden ursprünglich von Elliott für den Kern abgeleitet$\mathfrak{su}(3)$Modell. Es sieht aus wie

Elliott, JP, 1958. Kollektive Bewegung im Kernschalenmodell. I. Klassifikationsschemata für Zustände gemischter Konfigurationen. Verfahren der Royal Society of London. Serie A. Mathematical and Physical Sciences, 245(1240), S. 128-145

befasst sich damit, aber im Rückblick auf Phil Elliotts Artikel aus dieser Zeit werden Sie sicherlich finden, wonach Sie suchen.

Für die Teilchen kann man so weitermachen, was ergibt

$$\begin{align} (3,0)\oplus (1,1)\oplus (1,1)\oplus (0,0) \end{align}$$ mit$(3,0)\downarrow L=3\oplus L=1$der symmetrische Teil,$(0,0)\downarrow L=0$vollständig antisymmetrisch, und beide Kopien von$(1,1)\downarrow L=2\oplus L=1$gemischter Symmetrie.

Im Allgemeinen erfordert die Zerlegung dieser Typen in Irreps spezifischer Symmetrien den Begriff des Plethysmus und der Schur-Funktionen. Eine vernünftige Überprüfung mit befasst sich mit einigen Aspekten davon ist

Rowe, DJ, Carvalho, MJ und Repka, J., 2012. Duale Paarung von Symmetrie und dynamischen Gruppen in der Physik. Reviews of Modern Physics, 84(2), S.711.

Die Grundidee besteht darin, eine Substitutionsregel in Schur-Funktionen für eine größere Gruppe zu verwenden, damit die Schur-Weyl-Dualität ausgenutzt werden kann. Das Beispiel der Zerlegung mehrerer Kopien einer$\ell=1$Zustände durch Weitergabe an mehrere Kopien des Fundamentals von$SU(3)$ist ein Beispiel für diese Art von Verfahren. Diese Maschinerie erfordert die Erweiterung eines (normalerweise ziemlich langen) Polynoms und ist von Hand nicht einfach zu bewerkstelligen.