Spinzustandsrotationen und Spinorrotationen

Ich habe versucht, die Berechnungen durchzuführen, um die SU(2)-Matrizen abzuleiten, die Spinoren aus der Drehung der Spin-Eigenzustände drehen. Das Folgende ist das Verfahren, dem ich gefolgt bin, aber am Ende habe ich das nicht gefunden$SU(2)$Matrix, die ich erwartet hatte. Wie auch immer, ich verstehe nicht, warum diese Idee falsch sein sollte, also würde ich gerne, wenn Sie mir einige Einblicke darüber geben könnten.

Der Spin-Operator in Richtung des unitären Vektors$\vec n$Ist

$$\hat {\vec \sigma} \cdot \vec n=\hbar/2 \begin{bmatrix} n_z & n_x-in_y\\ n_x+in_y & -n_z \end{bmatrix}$$ Bei einigen Berechnungen stellte ich fest, dass der Eigenzustand mit Eigenwert$\hbar/2$dieses Operators ist

$$e^{i\phi}\sqrt {\frac {1-n_z}2}\begin{bmatrix} \frac {-n_x+in_y}{n_z-1}\\ 1\end{bmatrix}$$ außer dem Fall$n_z=1$in diesem Fall ist es$e^{i\phi} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$Wo$\phi$kann jeder reale Wert sein

Nun, wenn ich den einheitlichen Vektor drehe$\vec n$eines Winkels$\Delta\theta$um die z-Achse wird es sich auf diese Weise ändern

$$\begin{bmatrix}n'_x\\n'_y\\n'_z\end{bmatrix}=\begin {bmatrix} cos\Delta\theta & sen\Delta\theta & 0\\-sen\Delta\theta & cos\Delta\theta & 0\\0 &0&\ 1 \end {bmatrix} \begin{bmatrix}n_x\\n_y\\n_z\end{bmatrix}$$ somit ändert sich der Spinzustand auf diese Weise $$e^{i\phi}\sqrt {\frac {1-n'_z}2}\begin{bmatrix} \frac {-n'_x+in'_y}{n'_z-1}\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\Delta\theta+isen\Delta\theta & 0 \\ 0&1\end{bmatrix}e^{i\phi}\sqrt {\frac {1-n_z}2}\begin{bmatrix} \frac {-n_x+in_y}{n_z-1}\\ 1\end{bmatrix}$$ also die Matrix $$\begin{bmatrix} cos\Delta\theta+isen\Delta\theta & 0 \\ 0&1\end{bmatrix}$$ ist die Matrix, die den Spinzustand dreht, wenn das System gedreht wird. Diese Matrix ist nicht diejenige, die Spinoren um die z-Achse dreht, und das verwirrt mich, liege ich mit den Berechnungen falsch oder ist die Idee falsch?

AKTUALISIEREN

Mir ist aufgefallen, dass sich die Matrix, die ich gefunden habe, von der Matrix unterscheidet, die Spinor tatsächlich nur für eine Phase transformiert

$$\begin{bmatrix} cos\Delta\theta+isen\Delta\theta & 0 \\ 0&1\end{bmatrix}=e^{i\Delta\theta/2} \begin{bmatrix}e^{i\Delta\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\Delta\theta/2}\end{bmatrix}$$ Da es möglich ist, die Form des Eigenzustands bis zu einer Phase zu wählen, kann ich dies wählen: $$e^{i\phi}e^{i\theta/2}\sqrt {\frac {1-n_z}2}\begin{bmatrix} \frac {-n_x+in_y}{n_z-1}\\ 1\end{bmatrix}$$ Wo$\theta=f(n_x,n_y)$. In diesem Fall ist die Matrix, die den Eigenzustand transformiert, diejenige von$SU(2)$ $$\begin{bmatrix}e^{i\Delta\theta/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\Delta\theta/2}\end{bmatrix}$$ Aber warum sollten wir genau diese Phasenwahl verwenden? Was ist das Besondere an dieser Wahl?