Haben Spins räumliche Richtungen?

Question

Haben Spins räumliche Richtungen?

Xavier

Wenn wir ein Spin-1/2-Teilchen betrachten und versuchen, seine Wellenfunktion aufzuschreiben, haben wir

| ψ ⟩ = A | + ⟩ + B | - ⟩,

$|\psi\rangle = a|+\rangle + b|-\rangle,$ wo in einer Referenz über das Zwei-Ebenen-System der Autor schrieb

Stellen Sie sich einen Spin vor, der zur Zeit gleich Null entlang der durch die Winkel angegebenen Richtung zeigt $(\theta_0,\phi_0)$

$| Φ, 0 ⟩ = C Ö S \frac{θ_{0}}{2} | + ⟩ + S ich N \frac{θ_{0}}{2} e^{ich ϕ_{0}} | - ⟩$ $|\Phi,0\rangle\,=\,cos\frac {\theta_0} 2\, |+\rangle\, +\, sin \frac {\theta_0} 2 \,e^{i\phi_0}|-\rangle$

Soll ich diese Richtung als die Richtung im realen dreidimensionalen Raum interpretieren? Wenn ja, wie schreibt man (2.12) auf, wenn ich weiß, dass der Spin entlang eines durch definierten Vektors zeigt $(\theta_0,\phi_0)$ ? Ich weiß nicht, wie ich mir dieses Bild in meinem Kopf vorstellen (oder es zeichnen soll ...), da die beiden Zustände $|+\rangle$ Und $|-\rangle$ befinden sich in einem abstrakten Hilbertraum, der nichts mit der realen Raumrichtung zu tun hat.

Das Zitat stammt aus https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-05-quantum-physics-ii-fall-2013/lecture-notes/MIT8_05F13_Chap_07.pdf

Graf Iblis

Siehe Abschnitt 2 auf Seite 9

QMechaniker

Verwandte: physical.stackexchange.com/q/1/2451 , physical.stackexchange.com/q/822/2451 und darin enthaltene Links.

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Haben Spins räumliche Richtungen?

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SpinningCat · Answer 1

Das betreffende Thema ist ziemlich einfach.

Der Staat

| ψ ⟩ = \cos \frac{θ}{2} | + ⟩ + e^{ich ϕ} Sünde \frac{θ}{2} | - ⟩

$|\psi\rangle=\cos\frac{\theta}{2}|+\rangle+ e^{i\phi}\sin \frac{\theta}{2} |-\rangle$ eines Spin-1/2 kann wie folgt interpretiert werden (beachten Sie, dass ich geschrieben habe

θ / 2

$\theta/2$ anstatt

θ

$\theta$ weil, wie Sie sehen werden, auf diese Weise

θ

$\theta$ bedeutet den tatsächlichen Winkel im 3D-Raum). Lassen Sie uns verschiedene Spinkomponenten über diesen Zustand mitteln. Kleine Übung mit Pauli-Matrizen ergibt

⟨ S_{X} ⟩ = ⟨ ψ | {\hat{S}}_{X} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} Sünde θ \cos ϕ,

$\langle s_x\rangle=\langle \psi|\hat s_x|\psi\rangle =\frac{1}{2}\sin\theta\cos\phi,$

⟨ S_{j} ⟩ = ⟨ ψ | {\hat{S}}_{X} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} Sünde θ Sünde ϕ,

$\langle s_y\rangle=\langle \psi|\hat s_x|\psi\rangle=\frac{1}{2}\sin\theta\sin\phi,$

⟨ S_{z} ⟩ = ⟨ ψ | {\hat{S}}_{z} | ψ ⟩ = \frac{1}{2} \cos θ .

$\langle s_z\rangle=\langle \psi|\hat s_z|\psi\rangle=\frac{1}{2}\cos\theta.$ Es ist zu sehen, dass dies stark den Polarkoordinaten in 3D ähnelt, was im Grunde bedeutet, dass der durchschnittliche Spin einen 3D-Vektor mit einer Länge von 1/2 in einem realen Raum bildet. Dieser Vektor ist gemäß Winkeln gerichtet

θ

$\theta$ Und

ϕ

$\phi$ , dh sie ist gegenüber der z-Achse um den Winkel von geneigt

θ

$\theta$ und in der xy-Ebene um gedreht

ϕ

$\phi$ von x-achse. Mit anderen Worten, wenn Sie die Spinprojektion in der Richtung messen

\vec{N} = (Sünde θ \cos ϕ, Sünde θ Sünde ϕ, \cos θ),

$\vec{n}=(\sin\theta \cos\phi, \sin\theta \sin\phi,\cos \theta),$ Sie erhalten 1/2 Wert mit 100% Wahrscheinlichkeit. Dazu kommen natürlich Quantenfluktuationen, die mit der Nichtkommutativität von Spinprojektionen zusammenhängen, aber das ist eine andere Geschichte.

UPD, Antwort auf die Frage in den Kommentaren

Ab jetzt gehe ich davon aus $\hbar=1$ Der Einfachheit halber.

Ich werde keine Annahmen über einen bestimmten Wert des betrachteten Spins treffen, also kann der Spin eine halbe, eine, drei Hälften oder jede andere ganze Zahl oder ein halber ganzzahliger Wert sein. Um dies im Hinterkopf zu behalten, werde ich Kapital verwenden $S$ .

Hier stelle ich einen allgemeinen Weg vor, um den Zustand zu finden, der in die angegebene Richtung "zeigt". $\vec{n}$ , Wo $|\vec{n}|=1$ , beginnend mit dem Spin, der entlang der z-Richtung zeigt (ich nenne diesen Zustand $|S_z = S\rangle$ ).

Das Wichtigste, was man an dieser Stelle wissen muss, ist die folgende Aussage aus der Quantenmechanik: Jeder Drehimpulsoperator ist ein Generator von 3D-Rotationen . Dies ist genau wie beim einfachen Impulsoperator $\hat{p}$ ist der Generator von Übersetzungen. Zum Beispiel im eindimensionalen Fall

\exp (- ich A \hat{P}) ψ (X) = ψ (X - A) .

$\exp{\left(- i a \hat{p}\right)}\psi(x) = \psi(x-a).$ Sie können die obige Formel durch Einsetzen überprüfen

\hat{p} = - i \frac{d}{d x}

$\hat{p}=-i\frac{d}{dx}$ und Erweitern des Exponenten in der Potenzreihe.

Auf die gleiche Weise ist der Matrixexponent von Spinoperatoren (Matrixexponent einer beliebigen quadratischen Matrix definiert als $\exp{A}=\sum_{n=0}^\infty A^n/n!$ ) erzeugt die Rotation Ihres Spin-Zustands im 3D-Raum. Formal bedeutet dies, dass der Matrixexponent

R_{M}^{a} = \exp (- ich a (\vec{S} \cdot \vec{M}))

$R_{m}^\alpha = \exp\left(-i \alpha \left(\vec{S}\cdot\vec{m}\right)\right)$ (Noch einmal

| \vec{m} | = 1

$|\vec{m}|=1$ ) dreht den Spin um die Richtung

\vec{m}

$\vec{m}$ durch den Winkel

α

$\alpha$ . Das Skalarprodukt im Exponenten ist a

(2 S + 1) \times (2 S + 1)

$(2S+1)\times(2S+1)$ Matrix:

\vec{S} \cdot \vec{M} = M_{X} S_{X} + M_{j} S_{j} + M_{z} S_{z} .

$\vec{S}\cdot \vec{m}=m_x S_x +m_y S_y+ m_z S_z.$ Ich glaube, dass dieses Wissen eine Brücke zwischen dem abstrakteren Hilbert-Raum des Spins und dem vertrauteren 3D-Raum schlägt. Jetzt müssen wir die richtigen Drehungen machen, damit der Spin in die Richtung schaut

\vec{n}

$\vec{n}$ und wir können einfach in üblichen Rotationen denken. Lassen

\vec{N} = (\cos ϕ Sünde θ, Sünde ϕ Sünde θ, \cos θ) .

$\vec{n}=(\cos\phi\sin\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\theta).$

Wenn wir von ausgehen $|S_z=S\rangle$ Zustand, müssen wir zuerst den Spin um den Winkel neigen $\theta$ von der z-Achse. Dazu können wir eine Drehung um die y-Achse machen:

| S_{z} = S ⟩ \to \exp (- ich θ S_{j}) | S_{z} = S ⟩

$|S_z=S\rangle \rightarrow \exp\left(-i \theta S_y\right)|S_z=S\rangle$ Danach rotieren wir einfach vorbei

ϕ

$\phi$ um die z-achse:

\exp (- ich θ S_{j}) | S_{z} = S ⟩ \to \exp (- ich ϕ S_{z}) \exp (- ich θ S_{j}) | S_{z} = S ⟩ .

$\exp\left(-i \theta S_y\right)|S_z=S\rangle \rightarrow \exp\left(-i \phi S_z\right)\exp\left(-i \theta S_y\right)|S_z=S\rangle.$ (beachten Sie, dass

\exp (A) \exp (B) \neq \exp (A + B)

$\exp(A)\exp(B)\neq \exp(A+B)$ Im Algemeinen). Und im Grunde haben wir den Zustand gefunden, der in die Richtung schaut

\vec{n}

$\vec{n}$ . Lassen Sie es uns bezeichnen

| ψ ⟩ = \exp (- ich ϕ S_{z}) \exp (- ich θ S_{j}) | S_{z} = S ⟩ .

$|\psi\rangle = \exp\left(-i \phi S_z\right)\exp\left(-i \theta S_y\right)|S_z=S\rangle.$ In diesem Fall kann man genau wie beim halben Spin Folgendes überprüfen:

⟨ S_{X} ⟩ = ⟨ ψ | S_{X} | ψ ⟩ = S Sünde θ \cos ϕ,

$\langle S_x \rangle = \langle \psi|S_x|\psi\rangle=S\sin\theta\cos\phi,$

⟨ S_{j} ⟩ = ⟨ ψ | S_{j} | ψ ⟩ = S Sünde θ Sünde ϕ,

$\langle S_y \rangle = \langle \psi|S_y|\psi\rangle=S\sin\theta\sin\phi,$

⟨ S_{z} ⟩ = ⟨ ψ | S_{z} | ψ ⟩ = S \cos θ .

$\langle S_z \rangle = \langle \psi|S_z|\psi\rangle=S\cos\theta.$ Messen Sie erneut den Wert der Spinprojektion in Richtung

\vec{n}

$\vec{n}$ für Staat

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ wird den Wert von geben

S

$S$ mit 100% Wahrscheinlichkeit.

UPD 2 + behoben

Beachten Sie jedoch, dass natürlich nicht jeder beliebige Spinzustand als Vektor einer Länge gleich dargestellt werden kann $S$ und zeigt in eine feste Richtung $\vec{n}$ . Zum Beispiel im Staat $|S_z=0\rangle$ von Spin $S=1$ wir finden $\langle S_x\rangle=\langle S_y\rangle=\langle S_z\rangle=0$ .

Ich hoffe das hilft :)

Ich habe die kleine Übung gemacht und genau das gefunden, was du beschrieben hast. Eine Folgefrage, die ich habe, ist, ob es eine Konstruktionsmethode gibt, mit der man von einem beliebigen Einheitsvektor ausgehen kann $\hat{n}$ zum Ausdruck von $|\psi\rangle$ ? (Wenn ich daran interessiert bin, einen Spin-1-Teilchenzustand aufzuschreiben, der in die zeigt $\hat{n}$ Richtung, es ist mir nicht klar, wie das geht.)
@Xavier: Ich werde in einer Minute eine Antwort posten, indem ich meinen Beitrag oben bearbeite.

Herr Wetter · Answer 2

Seit $| \pm >$ den Hilbertraum aufspannt, kann man eine Überlagerung konstruieren, die in den zeigt $x$ , $y$ oder irgendeine andere Richtung. Eine nützliche Konstruktion, um dies zu visualisieren, ist die Bloch-Kugel

Sakhan · Answer 3

Die Richtungen sind im 3D-Raum zu interpretieren. Stellen Sie sich vor, was passieren wird, wenn Messungen durchgeführt werden. Aber nehmen Sie es nicht als eine Ansammlung von Spins, von denen ein Teil vollständig nach oben und der andere Teil vollständig nach unten zeigt. Das würde eine Mischung von Zuständen ergeben, die nicht Ihrem Zustand entspricht.

Simon · Answer 4

In der realen Welt ist Spin nicht räumlich. Der Bahndrehimpuls ist jedoch eine Größe, die im dreidimensionalen (Hilbert-)Raum an beschrieben werden kann. Nun, als wir entdeckten, dass Teilchen auch einen inneren Spin haben. Wir Physiker haben nach einer Möglichkeit gesucht, das Verhalten dieses inneren Spins eines Teilchens zu beschreiben. Auf diese Weise fanden wir heraus, dass der innere Spin mathematisch genauso wie der Bahndrehimpuls (nicht relativistisch) beschrieben werden kann.

Wenn wir also ein Teilchen beschreiben wollen, brauchen wir eine Wellenfunktion, die sowohl den räumlichen Anteil des Teilchens als auch seinen inneren Spin beschreibt. Dazu schreiben wir eine Wellenfunktion oft als (Tensor-)Produkt zweier Wellenfunktionen, die jeweils in einem anderen Hilbert-Raum „leben“. Bei der Untersuchung des Spins eines Teilchens beschränken wir uns oft nur auf den „Spin-Hilbert-Raum“. Dies ist der Raum, in dem unsere Spinwellenfunktion beschrieben wird.

Im Fall eines Spin-1/2-Teilchens hat dieser Spinraum nur 2 Dimensionen und daher kann unsere Wellenfunktion in einem zweidimensionalen Hilbert-Raum beschrieben werden und wir können uns auf diese Weise vorstellen, dass sie „Raumrichtungen“ hat. Aber denken Sie daran, dass dies nur ein mathematischer Weg ist, um den inneren Spin eines Teilchens zu beschreiben. Es repräsentiert nicht die reale Welt!

Der Hamiltonsche Phasenraum (der Hilbert-Raum der Quantenzustände) für Spin-1/2 ist zweidimensional, aber Spin ist ein Drehimpuls und als solches die Observable, die mit dem Operator verbunden ist, dessen Eigenfunktionen diesen Hilbert-Raum besetzen, ein Pseudovektor ist im physischen Raum. Wir können die Basis des Phasenraums so wählen, dass sie Messungen entlang einer beliebigen gegebenen Achse im physikalischen Raum entspricht.

dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen · Answer 5

Spin ist Drehimpuls. Seine Quantisierung entspricht nicht der von $\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ für ein Teilchen, hat aber dennoch alle Eigenschaften des Drehimpulses.

Als solches ist die mit dem Spin verbundene Observable ein Pseudovektor im physikalischen Raum, ungeachtet dessen, dass der Zustandsraum des Spins $s$ ist ein $2s+1$ -dimensionaler Raum (d. h. ein zweidimensionaler Raum für Spin-1/2).

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dmckee --- Ex-Moderator-Kätzchen

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