Triplett- und Singulettzustände: fermionisch oder bosonisch?

Angenommen, wir haben zwei Spin-1/2-Teilchen ohne Bahndrehimpuls. Wir entscheiden uns dafür, mit der Eigenbasis des Gesamtdrehimpulses zu arbeiten S 2 Und S z , was uns den Triplett- und den Singulettzustand gibt:

( S = 1 , T R ich P l e T , S j M M e T R ich C ) { | 11 ⟩ = | ↑↑ ⟩ | 10 ⟩ = 1 2 ( | ↑↓ ⟩ + | ↓↑ ⟩ ) | 1 − 1 ⟩ = | ↓↓ ⟩ ( S = 0 , S ich N G l e T , A N T ich S j M M e T R ich C ) { | 00 ⟩ = 1 2 ( | ↑↓ ⟩ − | ↓↑ ⟩ )

  1. Sowohl der Triplett- als auch der Singulettzustand haben ganzzahlige Gesamtspins. Dies deutet darauf hin, dass sich das Verbundsystem aus zwei Spin-1/2-Teilchen bosonisch verhält. Obwohl der Triplett-Zustand dies respektiert, indem er vollständig symmetrisch ist, ist der Singulett-Zustand vollständig antisymmetrisch. Da es keine anderen Teile der Wellenfunktion gibt, die wir antisymmetraisieren könnten, bleiben wir bei der Beschreibung eines vollständig antisymmetrischen Zustands hängen S = 0 , was für Bosonen ist. Was übersehe ich hier, was diesen Widerspruch hervorruft?

  2. Sind die vier oben aufgeführten Zustände immer erlaubt? Oder hängt es davon ab, ob die beiden Spin-1/2-Teilchen identisch oder unterscheidbar sind ?

    Ich denke, wenn sie unterscheidbar sind, sind alle vier Zustände erlaubt, wobei ich meine in Frage 1 beschriebene Verwirrung berücksichtige (das heißt, ich denke, das System sollte sich bosonisch verhalten, aber der Singulett-Zustand ist antisymmetrisch).

    Wenn die Teilchen identisch sind, kann ich sie nicht unterscheiden, und soweit ich das beurteilen kann, habe ich ein zusammengesetztes System aus zwei Fermionen, und ich weiß, dass der zusammengesetzte Zustand antisymmetrisch sein muss. Daher wäre nur der Singulett-Zustand erlaubt.

Antworten (2)

  1. Es gibt keinen Widerspruch. Der Spin eines Teilchens ist nicht seine einzige Eigenschaft. Ein Zwei-Fermion-Zustand muss in Bezug auf den Austausch aller ihrer Attribute, nicht nur des Spins, antisymmetrisch sein. Wenn der Zustand in Bezug auf den Austausch ihrer Spins symmetrisch ist , dann ist er in Bezug auf den Austausch ihrer anderen Attribute (wie Ort oder Impuls, nicht im OP gezeigt) antisymmetrisch und umgekehrt.

  2. Die vier gezeigten Zustände sind zulässig, unabhängig davon, ob die Partikel unterscheidbar oder "identisch" (gleiche Spezies) sind. Betrachten Sie für den Fall identischer Teilchen die beiden Elektronen in Orthohelium und Parahelium ( https://en.wikipedia.org/wiki/Helium_atom ). Betrachten Sie für den Fall nicht identischer Teilchen die verschiedenen möglichen Zustände eines Wasserstoffatoms unter Berücksichtigung der parallelen oder antiparallelen Konfiguration des Elektron/Nukleon-Spins ( http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_12.html ) . .

Ok, das dachte ich anfangs auch, aber dann konnte ich Sakurai-Frage 7.3 nicht durchdenken. Wenn Sie jedoch die in OP dargestellte Perspektive einnehmen, erhalten Sie die richtige Antwort für Problem 7.3. Ich habe dies in OP nicht erwähnt, weil ich keine spezifische Frage zur Lösung dieses Problems stelle, aber ich bin mehr daran interessiert, die Konzepte dahinter zu lernen. Zum Beispiel behaupten wir in der Lösung von 7.3, dass nur die Spinzustände symmetrisch/antisymmetrisch gemacht werden können, und daher muss für dieses Problem die antisymmetrische Teilmenge nicht zugelassen werden. Hast du Zugriff auf das Problem?
Ich habe momentan keinen Zugriff auf Sakurais Buch, daher bin ich mir nicht sicher, was die Lücke ist. Berücksichtigt Frage 7.3 einen Fall, in dem sich die Fermionen im gleichen räumlichen Zustand befinden, wie in der Antwort von @AndrewSteane beschrieben?
Sakurai 7.3 betrifft die Beschränkungen, die wir bezüglich der Spinzustände für den Fall von zwei identischen Spin-1-Teilchen haben. Ausgehend von Ihrem Punkt in Nr. 1 dachte ich, es gäbe keine Einschränkungen für die Spinzustände, da die räumlichen Zustände immer so gewählt werden könnten, dass ein insgesamt symmetrischer Zustand gewährleistet ist. Aber gemäß der Lösung müssen wir alle antisymmetrischen Zustände verbieten und nur die symmetrischen zulassen.
@Ptheguy Für zwei Spin-1-Teilchen muss der Zustand in Bezug auf den Austausch aller ihrer Attribute symmetrisch sein, vorausgesetzt, die Spin-1-Teilchen sind wie üblich Bosonen. Ich habe die Antwort für Fermionen formuliert, weil die Frage zwei Spin-1/2-Teilchen (Spin-Statistik-Theorem) spezifizierte und dies mit den im OP geschriebenen Gleichungen übereinstimmte. Für zwei Spin-1- Bosonen muss der Gesamtzustand eher symmetrisch als antisymmetrisch sein. Wenn er also bereits in allen Nicht-Spin-Attributen symmetrisch ist, muss er auch im Spin symmetrisch sein.
Natürlich, aber wie haben Sie herausgefunden, dass der Zustand "in allen Nicht-Spin-Attributen symmetrisch" ist? Haben Sie das nur aus der Tatsache geschlossen, dass die Teilchen identisch sein sollen? Wenn ja warum? Wenn nicht, wie hast du das dann bekommen?
@Ptheguy Ich habe das nicht geschlossen. Ich habe eine Wenn-Dann-Aussage gemacht. Wenn der 2-Boson-Zustand in allen Nicht-Spin-Eigenschaften symmetrisch ist, dann muss er auch in Spin symmetrisch sein. Ich habe immer noch keinen Zugriff auf Sakurai, daher befürchte ich, dass ich das Problem verwirren könnte, indem ich versuche, alle Grundlagen abzudecken und möglicherweise nicht verwandte Beispiele anzubieten.
Ich verstehe, ich bin gut im All-Case-Szenario. Es ist nur so, dass er im Sakurai-Problem nichts anderes als den Spin erwähnt, und daher müssen wir die Spinzustände allein so einstellen, dass sie symmetrisch sind. Ich nehme an, wenn uns gesagt wird, dass die Teilchen identisch sind, haben wir keine anderen Informationen zur Verfügung – sonst hätten wir sie vielleicht unterscheiden können. Daher müssen wir alle Spinzustände symmetrisch einstellen, da sie allein das Gewicht tragen, die Symmetrie des Gesamtzustands sicherzustellen.
@Ptheguy Ich frage mich, ob der Autor die Worte "die Teilchen sind identisch" verwendet, um zu bedeuten, dass sie sich im selben Zustand befinden (mit Ausnahme möglicherweise ihrer Spins), anstatt nur dieselbe Art zu sein. Dann hätten wir genug Informationen, um die Symmetrie/Antisymmetrie des Spinzustands zu bestimmen. Immer wenn ich etwas in einem seriösen Physikbuch lese, das ich nicht verstehe, frage ich mich: "Verpasse ich ein Schlüsselkonzept oder ist das nur ein Fall von mehrdeutiger Sprache?" Oft stellt sich heraus, dass es letzteres ist, aber das kann schwer zu diagnostizieren sein. Und ich bin mir ziemlich sicher, dass ich nicht der Einzige bin, der damit zu kämpfen hat.

Zuerst zu Ihrem Punkt 1. Es gibt keinen Widerspruch zwischen einem Zwei-Spin-System, das einen antisymmetrischen Zustand in Bezug auf den Austausch seiner Komponenten hat, aber symmetrisch in Bezug auf den Austausch dieses Paares mit einem anderen Paar ist.

Das Zwei-Spin-System ist insgesamt bosonisch, wie Sie sagen. Insbesondere hat der Singulett-Zustand die richtigen Eigenschaften, um a zu sein S = 0 Zustand. Beispielsweise ändert es sich nicht bei Drehungen des Koordinatensystems.

Man kann eine beliebige Anzahl von Fermionenpaaren in einem solchen Zustand nehmen und sie alle in denselben räumlichen Zustand bringen. Wenn diese Fermionen alle voneinander ununterscheidbar sind, dann ist der Zustand symmetrisch in Bezug auf den Austausch eines Paares mit einem beliebigen anderen Paar und antisymmetrisch in Bezug auf den Austausch eines Fermions mit einem anderen Fermion.

Jetzt Punkt 2. Ein Fermionenpaar hat sowohl Spin- als auch räumliche Eigenschaften. Ihr gemeinsamer Zustand kann manchmal in einem Tensorprodukt mit einem Spin-Teil in einen räumlichen Teil faktorisiert werden. Dies geschieht nicht immer. Unabhängig davon, ob der Zustand so faktorisiert werden kann oder nicht, muss er in Bezug auf den Austausch dieser beiden Fermionen antisymmetrisch sein, wenn die Fermionen ein Paar derselben Art von Teilchen sind (z. B. zwei Elektronen). Wenn der Zustand faktorisiert werden kann, wird seine Gesamtantisymmetrie erreicht, wenn:

Entweder ist der Spinzustand das Singulett und der räumliche Zustand symmetrisch

oder der Spinzustand ist das Triplett und der räumliche Zustand ist antisymmetrisch

Wenn dem System also beide Arten von räumlichen Zuständen zur Verfügung stehen, dann auch beide Arten von Spinzuständen. Wenn sich die beiden Teilchen im gleichen räumlichen Zustand befinden, kann der räumliche Gesamtzustand nur symmetrisch sein, also muss der Spinzustand in diesem Fall das Singulett sein.

(1) In Ihrem Punkt Nr. 2 scheint es, dass das System aus zwei Elektronen einen insgesamt antisymmetrischen Zustand haben muss. Aber sind wir nicht zu dem Schluss gekommen, dass sich das System aus zwei Spin-1/2-Teilchen bosonisch verhält? Ich glaube, Sie haben dieser Schlussfolgerung in Ihrem obigen Beitrag zugestimmt. (2) Verstehe ich außerdem richtig, dass, wenn Sie ein System identischer Teilchen haben und die räumlichen Zustände verfügbar sind, diese Zustände symmetrisch sind; und wenn das System nicht identische Teilchen hat, können wir dann antisymmetrische räumliche Zustände bilden?
Follow-up: In Bezug auf (1) in meinem vorherigen Kommentar glaube ich, dass meine Verwirrung darauf zurückzuführen ist, dass ich Ihre Betonung des Austauschs eines Fermionpaars gegen ein einzelnes Fermion übersehen habe. Ich denke, in diesem Sinne bin ich an dieser Front gut. Ich denke auch, dass die Antwort auf (2) nein ist. Der räumliche Teil kann wie jeder andere Zustand symmetrisch oder antisymmetrisch gemacht werden.
Triplett- und Singulettzustände: fermionisch oder bosonisch?
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