Sind nicht alle Spin-Zustände (oben, unten, links, rechts, rein, raus) orthogonal?

Hoffentlich kann jemand ein grundlegendes Missverständnis aufklären, das ich über die Natur von Spinzustandsvektoren habe.

Laut dem Buch, das ich gerade lese, sind die Basisvektoren des Aufwärts- / Abwärtsspins orthogonal zueinander. Gleiches gilt für rein/raus und links/rechts. Ich verstehe das, denn wenn der Spin als oben gemessen wird, schließt dies aus, dass er unten ist. Somit ist das innere Produkt der beiden Basisvektoren 0.

Aber wo ich verwirrt bin, sind nicht alle Spinzustände orthogonal? Kann es nicht immer nur eine Drehung geben? Wie in, wenn Sie einen Apparat haben, der entlang der z-Achse ausgerichtet ist, und einen +1 (Up-Spin) messen, schließt das dann nicht aus, dass der Spin links, rechts, innen oder außen ist, es sei denn, Sie verschieben den Apparat / messen neu?

Ich verstehe, dass Sie, wenn Sie an diesem Punkt entlang der x- oder y-Achse messen würden, eine 50/50-Chance hätten, einen Up- oder Down-Spin zu bekommen, während Sie bei einer Messung über die negative z-Achse eine 100% ige Chance hätten ein Downspin.

Was bedeutet dann Orthogonalität in Spinsystemen? Meine Vermutung ist, dass nach dem Einstellen der anfänglichen Geräterichtung und dem Messen des ursprünglichen Spinwerts Orthogonalität bedeutet, dass eine Wahrscheinlichkeit von 0% besteht, denselben gemessenen Spin zu erreichen, nachdem das Gerät entlang einer anderen Achse eingestellt und erneut gemessen wurde. Wenn Sie also den Spin +1 mit dem Gerät in der +z-Richtung messen und dann das Gerät auf -z verschieben, um eine zweite Messung durchzuführen, haben Sie eine 0%ige Chance, dass es +1 ist, was es orthogonal macht. Aber wenn Sie den Apparat entlang der +/- x/y-Achse verschieben würden, hätten Sie eine 50%ige Chance, den gleichen gemessenen Spin zu erhalten?

Ist meine Argumentation richtig oder weit weg von der Basis?

Deine Frage ist etwas verwirrend. Welche Statistiken Sie in einem Spin-Experiment erhalten, hängt davon ab, wie Sie Ihr Spin-System vorbereiten, nicht nur davon, wie Sie die Messung ausrichten. Normalerweise belassen wir es bei den Richtungen der Messachse und arbeiten stattdessen die Dynamik des Spins aus, da dort die eigentliche Physik liegt.
Beachten Sie, dass wir einen Vektor verwenden, um den Spin darzustellen, aber "orthogonal" bedeutet, dass das innere Produkt ⟨ hoch | Rechts ⟩ zwischen den beiden Zuständen ist Null, und dieses Skalarprodukt ist nicht das Skalarprodukt zwischen Vektoren. Sonst wäre oben nicht orthogonal zu unten.
Die Vektoren ( 0 , 1 ) Und ( 1 , 0 ) sind orthogonal, und sie bilden eine Basis für R 2 . Folgt daraus, dass zwei beliebige Vektoren in R 2 sind orthogonal?

Antworten (2)

Sie können sich den Spinzustand eines Elektrons als Vektor vorstellen ( a , β ) . Je nachdem, wie Sie die Dinge eingerichtet haben, kann "Up" durch dargestellt werden ( 1 , 0 ) , "Nach unten durch ( 0 , 1 ) , "Links" durch ( 1 , 1 ) , und "Rechts" durch ( − 1 , 1 ) . Oben ist orthogonal zu Unten und Links ist orthogonal zu Rechts, aber Oben ist nicht orthogonal zu Links.

Ich vermute, dass Oben/Unten eine besondere Beziehung zu Links/Rechts hat. Nicht Orthogonalität, sondern etwas anderes? Vielleicht etwas über den Spin in einer Achse, der nicht mit dem Spin auf der anderen Achse pendelt?

Der Drehimpuls in der Quantenmechanik funktioniert im Allgemeinen so: Die Summe wird gemessen durch L 2 = ℏ 2 ℓ ( ℓ + 1 ) wohingegen die Projektion entlang einer beliebigen Achse gemessen wird durch L z = ℏ   M zwischen − ℓ ≤ M ≤ ℓ . Beide ℓ Und M gleichzeitig messbar sind (dh die L 2 Und L z Operatoren pendeln), und sie müssen durch ganze Zahlen getrennt sein , aber sie müssen nicht wirklich ganze Zahlen sein .

Für eine Spritz- 1 2 System, ℓ = 1 / 2 und die zulässigen Werte für L z Sind M = − 1 / 2 Und M = + 1 / 2. Diese sind theoretisch "oben" und "unten".

Achten Sie jedoch sehr sehr genau darauf, denn L 2 ist eigentlich 3 4 ℏ 2 , also ist der Gesamtdrehimpuls definitiv ℏ 3 / 4 , oder ungefähr 0,866   ℏ . Nur 0,5 davon wird in der hingewiesen z Richtung in die M = + 1 / 2 Zustand.

Dies liegt daran, dass die M = + 1 / 2 Zustand besteht aus einer Quantenüberlagerung von Nicht-Null L X , L j Werte mit einer Konstante L z wert so L 2 = L X 2 + L j 2 + L z 2 ist konstant. Wenn Sie sich definitiv im Zustand „Spin-up“ befinden, besteht eine 50/50-Chance, Sie im Zustand „Spin-links“ oder „Spin-rechts“ zu sehen. Sie sind keine orthogonalen Zustände im Hilbert-Raum, obwohl sie orthogonale Richtungen im 3D-Raum sind!

Was wirklich passiert ist, ist, dass Sie über zwei Räume gesprochen haben und das Wort "orthogonal" in jedem zwei verschiedene Dinge bedeutet, was die Verwirrung auflöst. Ja , zwei Wellenfunktionen, die im Phasenraum orthogonal sind, haben keine Überlappung: Sie können den einen Zustand nicht als "im anderen Zustand" messen, wenn Sie ihn messen. Und das ist nicht dasselbe wie im 3D-Raum orthogonal zu sein, weil der Quanten-Spin-up-Zustand dies hat X Und j Komponenten zu seinem Drehimpuls.

Sind nicht alle Spin-Zustände (oben, unten, links, rechts, rein, raus) orthogonal?
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