Quadrat der Pauli-Matrizen und der Identitätsmatrix

OP fragt:

Hat das eine physikalische Bedeutung?

Ja, die Pauli-Matrix$\sigma_j$repräsentiert (bis auf einen Proportionalitätsfaktor) den Spin in der$j$te Richtung eines Spins$\frac{1}{2}$System. Ein solches System hat nur zwei Spinzustände:$\uparrow$Und$\downarrow$, mit entgegengesetzten Eigenwerten. Das Quadrat$\sigma_j^2$kann das Vorzeichen nicht mehr sehen, hat also nur noch einen Eigenwert, vgl. Kommentar von BMS. Mit anderen Worten, das Quadrat$\sigma_j^2$ist proportional zur Identitätsmatrix.

Dies liegt daran, dass es nur zwei mögliche Werte für den Spin in jede Richtung gibt,$-\frac{\hbar}{2}$Und$\frac{\hbar}{2}$, sie unterscheiden sich nur in einem Vorzeichen, also erhält man beim Quadrieren einen einzigen Wert$\frac{\hbar^2}{4}$. Denken Sie an diesen einzig möglichen Wert, wenn Sie das Quadrat messen$S_z$Ist$\frac{\hbar^2}{4}$für jeden Zustand, so

$$<\psi|S_z^2|\psi>=\frac{\hbar^2}{4} \quad \forall \, |\psi>$$ Es muss also ein Vielfaches des Identitätsoperators sein $$S_z^2=\frac{\hbar^2}{4} I$$ Erinnere dich daran $S_z$ist proportional zu den Pauli-Matrizen, $S_z =\frac{\hbar}{2} \sigma_z$.