Unsere Wahl der Basis kann sich doch nicht auf mögliche Ergebnisse einer Messung auswirken?

Question

Unsere Wahl der Basis kann sich doch nicht auf mögliche Ergebnisse einer Messung auswirken?

Michael Angelo

Der gesunde Menschenverstand sagt, dass das Ergebnis einer Messung an einem Quantensystem natürlich nicht davon beeinflusst werden kann, auf welcher Basis wir es darstellen. Beim Studium von QM-Texten scheint es jedoch so, als würden sie es manchmal fast suggerieren ... Meine Güte Frage ist ziemlich vage, also lassen Sie mich Ihnen stattdessen ein Beispiel geben, das meiner Meinung nach den größten Teil meiner Verwirrung enthält.

Betrachten Sie ein System auf der Basis simultaner Eigenzustände von $L^2$ Und $L_z$ , mit entsprechenden Eigenwerten $l(l+1)\hbar^2$ Und $m\hbar$ . Lassen $\mathbf{\hat{n}}$ ein Einheitsvektor in einer durch Polarwinkel ( $\theta,\phi$ ).

Deutlich $L_n = \sin\theta\cos\phi L_x+\sin\theta\sin\phi L_y +\cos\theta L_z$

Jetzt habe ich zwei etwas andere Fragen:

Was sind die möglichen Ergebnisse einer (genauen) Messung von $L_n$ , $L_n^2$ ?
Was sind die möglichen Erwartungswerte von $L_n$ , $L_n^2$

Ich würde es dir sagen

$m\hbar$ , $l(l+1)\hbar^2$ oder vielleicht $m \hbar \cos\theta$ , aber das würde bedeuten, dass meine Wahl der Richtung im Raum das Ergebnis der Messung beeinflusst?
Keine Ahnung und lässt mich meine Antwort auf 1) erneut in Frage stellen ...

Stan

Wenn Sie einen Zustand haben, der ein Eigenzustand von ist

L_{z}

$L_z$ , dann ist es kein Eigenzustand von

L_{n}

$L_n$ die Sie oben definieren, da

L_{x}

$L_x$ ,

L_{y}

$L_y$ , Und

L_{z}

$L_z$ pendeln nicht, und daher könnte der gemessene Wert alles sein. Ich denke, Sie wollen eine Koordinatenänderung vornehmen, aber dann müssen Sie auch den Zustand auf die gleiche Weise transformieren, wie Sie die Operatoren transformiert haben, so dass if

ϕ

$\phi$ war ein Eigenvektor von

L_{z}

$L_z$ das neue

ϕ^{'}

$\phi'$ ist ein Eigenvektor von

L_{n}

$L_n$ . Danach erhalten Sie genau die gleichen Ergebnisse.

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Unsere Wahl der Basis kann sich doch nicht auf mögliche Ergebnisse einer Messung auswirken?

Wenn Sie einen Zustand haben, der ein Eigenzustand von ist $L_z$ , dann ist es kein Eigenzustand von $L_n$ die Sie oben definieren, da $L_x$ , $L_y$ , Und $L_z$ pendeln nicht, und daher könnte der gemessene Wert alles sein. Ich denke, Sie wollen eine Koordinatenänderung vornehmen, aber dann müssen Sie auch den Zustand auf die gleiche Weise transformieren, wie Sie die Operatoren transformiert haben, so dass if $\phi$ war ein Eigenvektor von $L_z$ das neue $\phi'$ ist ein Eigenvektor von $L_n$ . Danach erhalten Sie genau die gleichen Ergebnisse.

Lubos Motl · Answer 1

Phänomene in der Quantenmechanik können mit jeder Basis ausgedrückt werden (das ist das englische Wort für den Satz von Vektoren, nicht eine „Basis“). Das bedeutet nicht, dass alle Basen für eine bestimmte Situation gleich nützlich sind. Insbesondere besagt ein grundlegendes Postulat der Quantenmechanik, dass sich das System unmittelbar nach jeder Messung in einem der Eigenzustände der gerade gemessenen Observablen befindet.

Deshalb ist die Basis der Eigenzustände von $K$ ist offensichtlich nützlicher, um die Messung von zu beschreiben $K$ als andere Basen. Beachten Sie, dass welche Basis nützlich ist – oder welche Basis einen möglichen Zustand nach der Messung beschreibt – von der Art der Messung abhängt , für die wir uns entscheiden. Diese Abhängigkeit der „richtigen Analyse des physikalischen Systems“ von der gewählten Betrachtungsweise ist eigentlich ein Hauptpunkt der Quantenmechanik.

Wenn die physikalische Analyse unabhängig von der Art der Beobachtungen durchgeführt werden könnte, wäre die Theorie per Definition klassische Physik, nicht Quantenmechanik. Eine solche Unabhängigkeit von den Beobachtungen könnte man als „gesunden Menschenverstand“ bezeichnen – das ändert aber nichts daran, dass die Natur dieser Annahme widerspricht.

$L_n$ hat immer Eigenwerte $m\hbar$ Wo $m$ ist eine ganze Zahl. $L_n^2$ hat Eigenwerte $m^2\hbar^2$ – weil es nur das Quadrat des Operators aus dem vorherigen Satz ist. Dies sollte nicht verwechselt werden mit $L^2$ die die Eigenwerte hat $\ell(\ell+1)\hbar^2$ Wo $\ell=0,1,2,3,\dots$ $L^2$ können immer gleichzeitig mit beliebigen gemessen werden $L_n$ und in diesem fall $m\in\{-\ell, -\ell+1,\dots, \ell-1,\ell\}$ .
Der Erwartungswert eines beliebigen Operators kann eine beliebige Zahl aus dem Intervall zwischen dem niedrigsten und höchsten Eigenwert sein. Also wenn wir messen $L^2$ Und $L_n$ dann im selben Moment $\langle L_n\rangle$ kann jede reelle Zahl dazwischen sein $-\ell$ Und $+\ell$ .

Beachten Sie das für jeden $\vec n$ , das Spektrum von $L_n$ ist dasselbe. Für alle Entscheidungen von $\vec n$ , die Betreiber $L_n$ sind zueinander konjugiert, dh

\exists U \in U (H) : L_{N^{'}} = U L_{N} U^{†}

$\exists U\in U({\mathcal H}):\quad L_{n'} = U L_n U^\dagger$ Hier der Betreiber

U

$U$ ist ein Operator auf dem Hilbert-Raum, der eine Drehung darstellt, die die dreht

\vec{n}

$\vec n$ Achse zu

{\vec{n}}^{'}

$\vec n'$ (passiv oder aktiv, man müsste aufpassen).

Die entsprechenden Eigenzustände von $L_n$ Und $L_{n'}$ sind auch zueinander konjugiert – aber die detaillierten Sätze von Eigenvektoren sind unterschiedlich . Also, wenn wir messen $L_n$ , bringen wir das System auf einen der Basisvektoren von $L_n$ durch die Messung, und wenn wir messen $L_{n'}$ sind die Kandidatenzustände nach der Messung Elemente der Basis verschiedener Eigenvektoren.

Eine Frage zu 2 allerdings, wenn es um den Erwartungswert von geht $L_n$ in einem simultanen Eigenzustand von $L_z$ Und $L^2$ , So $\langle l m_l \vert L_n \vert l m_l \rangle$ , bleibt Ihre Antwort auf 2) gleich?
Ich war und musste über gleichzeitige Eigenzustände von sprechen $L^2$ Und $L_n$ , andernfalls das Symbol $\ell$ hätte nichts bedeutet. Im Gegenteil, wenn Sie nicht garantiert haben, dass der Zustand ein Eigenzustand von ist $L^2$ , Ich kann nur sagen, dass der Erwartungswert von $L_n$ ist jede reelle Zahl, weil $\ell$ wäre unbegrenzt.

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Michael Angelo

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