Eindeutigkeit der Eigenvektordarstellung in einem vollständigen Satz kompatibler Observablen [Duplikat]

Mögliches Duplikat:
Eindeutigkeit der Eigenvektordarstellung in einem vollständigen Satz kompatibler Observablen

Sakurai gibt an, dass, wenn wir einen vollständigen, maximalen Satz kompatibler Observablen haben, sagen wir A, B, C ..., dann ein Eigenvektor dargestellt wird durch |a, b, c ....> , wobei a, b, c ... ., jeweilige Eigenwerte sind, eindeutig ist. Wieso ist es so? Warum kann es nicht für jede Observable zwei Eigenvektoren mit gleichen Eigenwerten geben? Spielt die Maximalität der Menge dabei eine Rolle?

Ich habe diese Frage auf Physics SE gestellt und war mit Antworten nicht zufrieden. Hoffe das ich hier Hilfe bekomme.

Ich bin mir nicht sicher, ob diese Frage zu dieser Seite passt, ich denke, Physics.se passt viel besser. Außerdem scheint mir, dass Genneth dort drüben schon eine ausgezeichnete Antwort gegeben hat.
@Moshe: Ich habe mir nicht die Mühe gemacht, mir den Physics.SE-Link anzusehen, bevor ich geantwortet habe, aber jetzt, wo Sie darauf hingewiesen haben, stimme ich zu, dass Genetths Antwort perfekt war.

Antworten (2)

Ja, da es sich um die maximale Menge kompatibler Observablen handelt, enthält sie alle Observablen, für die | A ⟩ , | B ⟩ , | C ⟩ , usw. sind die Eigenvektoren (ich werde die Notation verwenden | ψ 1 ⟩ , | ψ 2 ⟩ , | ψ 3 ⟩ usw. stattdessen). Daher schließt dies das Beobachtbare ein D = ∑ k k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | . Jedoch D hat einen eindeutigen Satz von Eigenvektoren, und daher auch jeder kompatible Satz von Observablen, der enthält D .

Zwei Fragen. Sind Ihre psi_1, psi_2 usw. alle unterschiedliche Zahlen? Wenn ja, was ist dann, wenn das Spektrum entartet ist? Wenn nein, dann denke ich, dass Ihr Beweis nicht funktionieren wird. Zweitens, warum ist D eine Observable? Ist die Definition von beobachtbar nicht, dass es sich um eine physikalische Größe handelt, die gemessen werden kann? Ich sehe nur, dass D ein hermitescher Operator ist. Warum sollte es ein Observable sein?
ψ ich oben sind eine Basis für den Hilbert-Raum, in dem alle Messungen diagonal sind. Wenn die Menge der Messungen maximal ist, dann enthält sie notwendigerweise D für eine bestimmte Wahl der Basis. Da Sie die Menge der Observablen durch ihre Eigenvektoren angeben, können Sie explizit konstruieren D .
Zweitens sind in der Quantenmechanik Observable und Hermitescher Operator synonym. Sie können (zumindest im Prinzip) für jeden hermiteschen Operator eine physikalische Messung konstruieren, und jede physikalische Observable ist hermitesch.

Sie können und haben manchmal entartete Eigenwerte.

Dies könnte nur eine Frage der Definitionen sein: „Ein vollständiger Satz pendelnder Observablen (CSCO) ist ein Satz pendelnder Operatoren, deren Eigenwerte den Zustand eines Systems vollständig spezifizieren (Gasiorowicz 1974, S. 119).“ [1]

Das heißt, wenn Sie mir einen erfundenen Hamilton-Operator mit mindestens einem entarteten Eigenwert geben, könnte man vielleicht in der Lage sein, keine beobachtbaren Pendelbewegungen damit nachzuweisen.

Das ist falsch. Der Hamiltonoperator selbst ist eine Observable. Wenn Sie außerdem denselben Eigenvektoren einen beliebigen Satz eindeutiger Eigenwerte zuweisen (durch Auswählen einer Basis für jeden entarteten Unterraum) und so die Entartung aufheben, entsteht eine Observable, die gleichzeitig mit dem Hamilton-Operator diagonalisierbar ist und daher mit ihm pendelt, aber welche hat keine entarteten Eigenräume.
Eindeutigkeit der Eigenvektordarstellung in einem vollständigen Satz kompatibler Observablen [Duplikat]
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