Sind Zustände mit unendlicher mittlerer Energie sinnvoll?

Sind Zustände mit unendlicher mittlerer Energie sinnvoll?

Betrachten Sie der Konkretheit halber einen harmonischen Oszillator mit dem Hamiltonoperator H = A † A und Eigenzustände H | N ⟩ = N | N ⟩ , ⟨ N | M ⟩ = δ N , M . Dann bereiten Sie einen Zustand vor

| ψ M ⟩ = C ∑ N = 1 ∞ 1 N | N M ⟩ , M ∈ N .
Dieser Zustand ist normalisierbar (mit Normalisierungskonstante C − 2 = ∑ N = 1 1 N 2 ) und scheint daher ein OK-Quantenzustand zu sein. Allerdings ist seine durchschnittliche Energie
⟨ ψ M | H | ψ M ⟩ = C 2 ∑ N = 1 ∞ N M − 1
ist für jeden unendlich M ≥ 0 .

Hier gibt es keinen direkten Widerspruch, aber ich habe noch nie zuvor über solche Zustände nachgedacht, und sie scheinen rätselhaft zu sein. Sind sie sinnvoll? Erscheinen sie in Theorie/Experiment? Braucht es unendlich viel Energie, um aus dem Vakuumzustand einen solchen Zustand herzustellen?

Würde die Cauchy-Schwarz-Ungleichung das nicht implizieren H | Ψ M ⟩ hat eine unendliche Norm und liegt damit nicht im Bereich des Skalarprodukts? Also vielleicht | Ψ M ⟩ ist in Ordnung, aber die Berechnung des Erwartungswerts als ⟨ Ψ M | H | Ψ M ⟩ ist ungültig?
Es ist unmöglich zu sagen, dass die Summe einen netten regulierten Wert hat: ζ ( 1 − M ) . Ich behaupte nicht, dass diese Regularisierung physisch ist
In der Positionsdarstellung hat Ihr Zustand einen schnellen Abfall für X → − ∞ und einen schweren Schwanz ∼ X − 1.5 für X → + ∞

Antworten (3)

Wenn Sie die frequentistische Perspektive einnehmen , ist die Tatsache, dass ⟨ E ⟩ nicht existiert bedeutet einfach, dass wenn man die Energien misst N identisch präparierte Systeme und mitteln die Ergebnisse, dann nähert sich diese Zahl nicht einer wohldefinierten Grenze an N → ∞ .

Wenn das Spektrum des Hamilton-Operators unbeschränkt ist (was sehr oft der Fall ist), dann müssen solche Zustände im Hilbert-Raum existieren, also erscheinen sie sicherlich mathematisch . Ich persönlich finde auch nichts unbedingt Unkörperliches an ihnen; ⟨ E ⟩ → ∞ bedeutet nicht, dass jede Messung als Ergebnis unendlich zurückgibt, sondern dass eine Erhöhung der Anzahl von Messungen tendenziell zu einer Erhöhung der durchschnittlichen Energie führt.

Betrachten Sie zum Beispiel ein Partikel in einer Kiste der Länge A mit Wellenfunktion ψ ( X ) = 1 / A . Dies entspricht der völlig unbekannten Position des Partikels (abgesehen von der Tatsache, dass es sich in der Box befindet). Wenn Sie rechnen ⟨ E ⟩ In diesem Zustand werden Sie feststellen, dass es ins Unendliche divergiert. Das Teilchen in einer Kiste ist natürlich eine mathematische Idealisierung, aber das gilt auch für jedes Modell, das wir letztendlich verwenden, und da dieses sehr plausibel ein nützliches Modell ist, bin ich nicht so bereit, es abzuschreiben.

Ihr Beispiel ist kniffliger als es scheint, da [ ψ erfüllt nicht die mit dem Definitionsbereich von verbundenen Randbedingungen H ]

@ZeroTheHero hebt einen hervorragenden Punkt hervor. H (dessen Bereich zweimal schwach differenzierbare Funktionen mit Dirchlet-Randbedingungen sind) ist selbstadjungiert (wie alle Hamiltonoperatoren sein müssen), aber es ist richtig, dass die ψ Ich habe aufgeschrieben, ist nicht in seiner Domäne. Insofern können wir nicht schreiben ⟨ E ⟩ = ⟨ ψ , H ψ ⟩ einfach weil die rechte Seite illegal ist!

Das muss das nicht unbedingt bedeuten ⟨ E ⟩ ist undefiniert, aber es sollte uns misstrauisch machen. Das Richtige ist zu erweitern ψ in Bezug auf die normalisierten Eigenvektoren von H :

ψ = ∑ N C N ϕ N H ϕ N = E N ϕ N
was aufgrund der Selbstadjungiertheit von immer möglich ist H . Wir definieren dann ⟨ E ⟩ := ∑ N E N | C N | 2 . Es ist leicht zu sehen, dass dies mit übereinstimmt ⟨ ψ , H ψ ⟩ Wenn ψ ∈ D Ö M ( H ) , ist aber tatsächlich etwas allgemeiner, und es ist diese Berechnung, die ins Unendliche divergiert. In der Tat, wenn wir naiv rechnen ⟨ ψ , H ψ ⟩ durch differenzieren ψ zweimal erhalten wir null.

Okay, das leuchtet mir ein! In meinem Fall tritt ein Zustand mit unendlicher mittlerer Energie als Ergebnis einer Evolution in einem offenen Quantensystem auf. Ich versuche zu verstehen, ob dies bedeutet, dass ich auf dem Weg falsche Näherungen verwendet und insbesondere unendlich viel Energie in das System gepumpt habe, oder dass dem resultierenden Zustand immer noch vertraut werden kann, um einige Observablen (vermutlich nicht die Energie) zu berechnen.
@WeatherReport Leider bin ich kein Experte für offene Quantensysteme, daher bin ich nicht die richtige Person, um mit Ihrem speziellen Beispiel zu sprechen. Es ist jedoch erwähnenswert, dass selbst in meinem Partikel-in-einer-Box-Beispiel die Wahrscheinlichkeiten , dass das System eine bestimmte Energie hat, immer noch gut definiert sind und alle diese Wahrscheinlichkeiten sich zu eins addieren, obwohl ⟨ E ⟩ → ∞ . Der Punkt ist, dass ich mir vorstellen könnte, dass die Einführung eines unendlich großen thermischen Reservoirs unendliche Erwartungswerte erzeugen könnte, ohne den Zustand selbst von Natur aus nutzlos zu machen.

Der unendliche Erwartungswert für die Energie ergibt sich dadurch, dass das harmonische Potential bis ins Unendliche reicht. Infolgedessen kann man auf der Leiter der Staaten unendlich weiter steigen. Praktisch kann ein so unendlich hohes Potential nicht existieren. Ab einem bestimmten Energieniveau gibt es keine gebundenen Zustände mehr und es bleiben nur Streuzustände übrig.

Es gibt also keinen Widerspruch, und ein solches nicht intuitives Verhalten ist eine Folge der unphysikalischen Natur des Potenzials. Ähnliches passiert mit dem unendlichen Potentialtopf, wo die erste Ableitung der Wellenfunktion unstetig ist. Wieder theoretisch kein Widerspruch, aber physikalisch nicht realisierbar.

Kann ich dasselbe Spiel nicht mit einem freien Partikel spielen (bei dem alle Zustände streuen)? Bereiten Sie einen Zustand vor | ψ ⟩ = ∫ D E F ( E ) | E ⟩ Wo ⟨ ψ | ψ ⟩ = ∫ D E | F ( E ) | 2 konvergiert aber ⟨ ψ | H | ψ ⟩ = ∫ D E E | F ( E ) | 2 nicht?
Selbst in diesem Fall könnten Sie, wie Sie in Ihrer Frage anmerken, niemals einen solchen Zustand im tatsächlichen Universum ohne Zugang zu einer unendlichen Menge an Energie herstellen.
Der Grund für unendliche Energie ist die Einbeziehung der unendlich hohen Energie-Eigenzustände, die mit endlicher Wahrscheinlichkeit in ihnen zu finden sind. Man kann dieses Spiel mit jedem unbegrenzten Spektrum spielen. Physikalisch ist dies jedoch nicht möglich, wie diese Antwort richtig zeigt.
@RogerVadim Nun, der unendliche Energiezustand hat in meiner Konstruktion eine Nullwahrscheinlichkeit, daher ist Ihre Beschreibung etwas ungenau. Die Aufnahme von Eigenzuständen mit beliebig hoher Energie ist an sich kein Problem, betrachten Sie einen kohärenten Zustand als vernünftiges Beispiel. Wenn die Zustände, die ich beschreibe, wirklich irgendwie von Natur aus verboten sind, würde das implizieren, dass der Zustandsraum nicht wirklich alle normierbaren Überlagerungen enthält, was eine nicht triviale Aussage zu sein scheint.
@WeatherReport Sie verwechseln, was von Natur aus erlaubt / verboten ist und was von physikalischer Theorie / Mathematik erlaubt / verboten ist. Auch meine Beschreibung ist ziemlich präzise: für jede Energie E < + ∞ es gibt so eine Endlichkeit ϵ (abhängig von E ), dass die Wahrscheinlichkeit, das System in diesem Zustand zu finden, größer ist als ϵ .
@RogerVadim das ist subtil, aber ich bin anderer Meinung. Insbesondere ist mir nicht ersichtlich, warum meine ψ M Zustand ist schlechter als ein kohärenter Zustand und sollte als unphysikalisch betrachtet werden?
@WeatherReport Sie sagen, dass "alle Modelle falsch sind, aber einige von ihnen nützlich sind" . Die Physik ist eine ungefähre Beschreibung der von Menschen geschaffenen Natur. Dies gilt auch für die kohärenten Zustände – ein solcher im Labor erzeugter Zustand ist nur annähernd kohärent.

Interpretieren ⟨ E ⟩ = ∞ man muss zwischen den möglichen Werten, dem erwarteten Wert und dem wahrscheinlichsten Energiewert unterscheiden.

Alle Eigenwerte { 1 , 2 , 3 , … } = N des Hamilton-Operators sind mögliche Energien für den von Ihnen vorgeschlagenen Zustand (damit M = 1 Natürlich). Jede einzelne Eigenenergie ist eine endliche Zahl , aber es gibt keine höchste Energie, das Spektrum ist nach oben unbegrenzt.

Dieser Zustand hat jedoch die niedrigste Energie als den wahrscheinlichsten, und die Wahrscheinlichkeit nimmt mit zunehmender Energie ab.

( P 1 , P 2 , P 3 , … ) = 1 ∑ N = 1 ∞ 1 N 2 ( 1 1 2 , 1 2 2 , 1 3 2 , … )
Die niedrigsten Energien sind also diejenigen, die man jeden Tag bei der Energiemessung in diesem Zustand erhält.

Nun ist der Erwartungswert (oder Durchschnittswert) (im Allgemeinen) nicht unbedingt ein möglicher Wert oder der wahrscheinlichste. Außerdem hat die Verteilung für diesen Zustand einen unendlich großen Mittelwert (mit E N = N )

⟨ E ⟩ = ∑ N = 1 ∞ P N E N = ∑ N = 1 ∞ 1 N ∑ N = 1 ∞ 1 N 2 = ∞ ,
aber was Sie mit der Messung erhalten, ist immer eine endliche Zahl im Spektrum. Es ist (zumindest theoretisch) immer noch möglich, zufällig so hohe Energien zu messen, wie Sie möchten, solange Sie Teilchen in diesem Zustand für immer messen , da es unwahrscheinlich ist, dass Sie diese niedrigen Energien jeden Tag erhalten.

Sind Zustände mit unendlicher mittlerer Energie sinnvoll?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v