Was ist der Hamilton-Operator in der "Energiebasis" für einen einfachen harmonischen Oszillator?

...wie ist das die "Energie"-Basis? Was bedeutet das überhaupt?

Alle unsere beobachtbaren Operatoren in ihrer eigenen Eigenbasis sind diagonal, wobei die diagonalen Einträge die Eigenwerte sind.$^*$

Wir können sehen, dass dies wahr ist. Lassen$|\psi_i\rangle$sei der Eigenvektor so dass$H|\psi_i\rangle=E_i|\psi\rangle$. Dann ist der Hamiltonoperator in seiner eigenen Eigenbasis:

Da die Eigenvektoren orthonormal sind:

Das bedeutet, dass der Hamiltonoperator in seiner eigenen Eigenbasisbasis diagonal ist.

Beachten Sie, dass dies nicht davon abhängt, was$H$eigentlich ist. Wenn Sie mit Ihrem spezifischen Beispiel arbeiten möchten (ich überlasse die Arbeit Ihnen):

Daher muss der Ausdruck, den Sie angeben, der Hamilton-Operator sein, der seine eigene Eigenbasis ist.

$^*$Indem wir unsere Operatoren wie Matrizen behandeln, teilt uns ein Operator auf gewisser Basis im Allgemeinen die folgenden Informationen mit. Jede Spalte des Operators sagt uns, wie sich der entsprechende Basisvektor bei der Multiplikation mit diesem Operator transformiert. Daher ist es sinnvoll, dass ein Operator in seiner eigenen Eigenbasis diagonal ist, da die Eigenvektoren die Basisvektoren sind und die resultierende Transformation jedes Basisvektors einer einfachen Multiplikation mit dem entsprechenden Eigenwert entspricht.

Es ist die Energiebasis, weil die Eigenzustände von$\hat H$sind die Anzahl angeregter Teilchen in einem gegebenen Zustand. Der erste Term in Ihrer Gleichung wird auch als bezeichnet$n$und stellt die Gesamtzahl der Teilchen im n-ten Zustand dar.

So,$\hat H |n\rangle = \hbar\omega\left(\hat a^\dagger\hat a+\frac12\right) |n\rangle = \hbar\omega \left(n+\frac12\right) |n\rangle$

Das ist eine gute Frage, denn was hier vor sich geht, ist ein loser Gebrauch von Terminologie. Wenn Sie eine strenge Terminologie wünschen, dann in der Tat, wenn wir einen Operator wie schreiben$\hat{a}^\dagger \hat{a}$wir haben uns dabei nicht auf eine bestimmte grundlage eingestellt, sondern einfach den operator aufgeschrieben. Die korrekte Verwendung des Ausdrucks "in der Energiebasis" würde bedeuten, die Matrixelemente auszuschreiben$\langle E_n | \hat{H} | E_m\rangle$. Dann hätten Sie eine Matrix, die den Hamilton-Operator in der Basis darstellt$\{ | E_n \rangle \}$. Die lockere Terminologie hier lenkt unsere Aufmerksamkeit auf die Tatsache, dass es möglich ist, durch Manipulieren von Hebe- und Senkoperatoren vieles herauszufinden, was wir wissen möchten, wie z. B. die Energieniveaus und die Wirkung anderer Operatoren auf Energieeigenzustände, ohne dies tun zu müssen Entdecken Sie, wie die Energie-Eigenzustände in Bezug auf die Position oder eine andere Größe wie Impuls geschrieben werden können.