Was genau ist ein Energieeigenzustand?

Question

Was genau ist ein Energieeigenzustand?

Elster

Angenommen, Sie haben Energieeigenzustände

\begin{aligned} \begin{aligned} | + ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | 1 ⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} | 2 ⟩ \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{split} |+\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}|1{\rangle}+\frac{1}{\sqrt{2}}|2 \rangle \end{split} \end{align}$

\begin{aligned} \begin{aligned} | - ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | 1 ⟩ - \frac{1}{\sqrt{2}} | 2 ⟩ \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{split} |-\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}|1{\rangle}-\frac{1}{\sqrt{2}}|2 \rangle \end{split} \end{align}$

mit

\begin{aligned} \begin{aligned} | ψ (0) ⟩ = a_{+} | + ⟩ + a_{-} | - ⟩ \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{split} |\psi(0)\rangle= \alpha{_+}|+{\rangle}+\alpha{_-}|- \rangle \end{split} \end{align}$

Und

\begin{aligned} \begin{aligned} a_{+} = ⟨ + | ψ (0) ⟩ \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{split} \alpha{_{+}} = {\langle} + | {\psi{(0)}} {\rangle} \end{split} \end{align}$

\begin{aligned} \begin{aligned} a_{-} = ⟨ - | ψ (0) ⟩ \end{aligned} \end{aligned}

$\begin{align} \begin{split} \alpha{_{-}} = {\langle} - | {\psi{(0)}} {\rangle} \end{split} \end{align}$

Ich weiß, dass Sie die Koeffizienten finden können $\alpha_+$ Und $\alpha_-$ Wenn Sie haben $|\psi(0)\rangle$ schon, aber ich kämpfe konzeptionell damit, was das in Bezug auf die Heisenbergsche Unschärferelation und die Problemlösung für diese Art von Dingen im Allgemeinen bedeutet.

Ich bin mir auch nicht sicher, wie Sie die Eigenzustände finden. Obwohl ich mathematisch weiß, wie man die Eigenwerte und Eigenvektoren aus einer Matrix erhält.

Antworten (1)

Was genau ist ein Energieeigenzustand?

David z · Answer 1

Ein Energieeigenzustand ist nur ein Eigenzustand des Hamiltonoperators. Also, wenn ein bestimmter Hamilton-Operator gegeben ist $H$ , die Energieeigenzustände $\lvert n\rangle$ erfüllen

H | N ⟩ = E_{N} | N ⟩

$H\lvert n\rangle = E_n\lvert n\rangle$

Wo $E_n$ ist nur eine Zahl.

Der Grund, warum Energieeigenzustände nützlich sind, liegt darin, dass sie gemäß der Schrödinger-Gleichung (mit Ausnahme eines Phasenfaktors) über die Zeit unverändert bleiben. Vermuten $\lvert\psi(0)\rangle$ ist der Anfangszustand eines Systems mit einem Hamiltonoperator $H$ . Wenn $\lvert\psi(0)\rangle$ ist der $n$ ter Eigenzustand von $H$ , nämlich wenn $\lvert\psi(0)\rangle = \lvert n\rangle$ , den Zustand des Systems zu einem späteren Zeitpunkt $t$ wird sein

| ψ (T) ⟩ = e^{ich E_{N} T} | N ⟩ = e^{ich E_{N} T} | ψ (0) ⟩

$\lvert\psi(t)\rangle = e^{iE_nt}\lvert n\rangle = e^{iE_nt}\lvert \psi(0)\rangle$

Und da die Schrödinger-Gleichung linear ist, wenn der Anfangszustand eine Linearkombination von Energieeigenzuständen ist, $\lvert\psi(0)\rangle = \sum_n \alpha_n\lvert n\rangle$ gilt dasselbe für jeden der Eigenzustände in der Summe. Im Wesentlichen kann man die zeitliche Entwicklung über die Summe verteilen. Dementsprechend können Sie auf diese Weise einfach einen Ausdruck für den Zustand des Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt aufschreiben $t$ :

| ψ (T) ⟩ = \sum_{N} a_{N} e^{ich E_{N} T} | N ⟩

$\lvert\psi(t)\rangle = \sum_n\alpha_n e^{iE_nt}\lvert n\rangle$

Wenn Sie also den Anfangszustand als Summe der Koeffizienten multipliziert mit den Energieeigenzuständen ausdrücken können, ist es ziemlich trivial, den Zustand zu einem späteren Zeitpunkt auszudrücken. Hier kommen die inneren Produkte ins Spiel. Es ist oft so, dass Eigenzustände von $H$ eine vollständige orthonormale Basis bilden, und wenn Sie eine orthonormale Basis haben, zerlegen Sie einen willkürlichen Zustand in diese Basis, indem Sie innere Produkte nehmen, $\alpha_n = \langle n\vert\phi(0)\rangle$ .

All das hat nichts mit der Unschärferelation zu tun.

Was ist, wenn Sie keinen bestimmten Hamilton-Operator haben? Wie kann man dann die Energieeigenzustände identifizieren? Ist es ausreichend, dass Sie die Wahrscheinlichkeit der Energie in diesem Zustand kennen? Ich denke, es könnte von dem sein, was Sie geschrieben haben, aber ich bin mir nicht sicher.
Du kannst nicht. "Energie-Eigenzustand" bedeutet einfach "Eigenzustand des Hamilton-Operators". Es gibt also keinen Energie-Eigenzustand ohne Hamiltonoperator, genauso wie es keinen Eigenvektor ohne Matrix gibt.
Ja, aber du hast es gerade gesagt $H | N ⟩ = E_{N} | N ⟩$ $H\lvert n\rangle = E_n\lvert n\rangle$ was ist dann mit der rechten seite? Sicherlich ist dies nur die Wahrscheinlichkeit, in einem Energiezustand n zu sein?
Nein. Das ist ein Quantenzustand, keine Wahrscheinlichkeit. Die rechte Seite dieser Gleichung stellt nichts Besonderes dar.
Kommt darauf an, wovon gehst du aus? In vielen Fällen würde man den Hamiltonian erhalten. (Übrigens sollte ich meinen ersten Kommentar präzisieren: Ich sage nicht, dass Sie unbedingt wissen müssen, was der Hamilton-Operator ist, damit Sie die Energie-Eigenzustände identifizieren können, aber es muss einen Hamilton-Operator geben.)
ach ja das hilft schon. Wenn Sie die Energieeigenwerte haben $P_n(E_n)$ Und $/psi(0)$ , reicht das, um es zu klären? Die RHS sieht aus wie $E_n$ ein Eigenwert

Was genau ist ein Energieeigenzustand?

Elster

Antworten (1)

David z

Elster

David z

Elster

David z

Elster

David z

Elster

David z

Warum werden allgemeine Wellenfunktionen durch Energieeigenfunktionen ausgedrückt?

Hamiltonoperatoren, Erzeugungs-/Vernichtungsoperatoren, Rekursion

Was ist der Hamilton-Operator in der "Energiebasis" für einen einfachen harmonischen Oszillator?

Warum ist in der Quantenmechanik ⟨T⟩=⟨p2⟩2m⟨T⟩=⟨p2⟩2m\langle T\rangle=\frac{\langle p^2 \rangle}{2m} und nicht ⟨T⟩=⟨p ⟩22m⟨T⟩=⟨p⟩22m\langle T\rangle=\frac{\langle p \rangle^2}{2m}?

Was versteht man in der Physik der kondensierten Materie unter einer „Lücke“ und warum ist sie so wichtig?

Ist der Grundzustand im QM immer eindeutig? Wieso den?

Wie passt die nicht-hermitesche Quantenmechanik (PT-symmetrische QM) in die Physik?

Motivation für Übergangswahrscheinlichkeiten in der Quantenmechanik

Erwartungswert ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle unter Verwendung des Hellmann-Feynman-Theorems

Beschreiben von Energien mit einem seltsamen Hamiltonian