Erwartungswert ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle unter Verwendung des Hellmann-Feynman-Theorems

Angenommen, wir haben das Wasserstoffatom

H   =   P R 2 2 M + L 2 2 M R 2 − e 2 R .
Und haben die Schrödinger-Gleichungsfindung gelöst
E N = − M e 4 2 ℏ 2 N 2
Und
Ψ N l M   =   R E , l ( R ) Y l M ( φ , θ ) .
Mit der Ladung e als Parameter ist es recht einfach, das Hellmann-Feynman-Theorem zu verwenden :
D E λ D e   =   ⟨ Ψ N l M | D H D λ | Ψ N l M ⟩ ,
finden ⟨ 1 R ⟩ . Jetzt versuche ich, einen geeigneten Weg zu finden, um das "Gleiche" zu finden ⟨ 1 R 2 ⟩ .

Ich habe folgende Lösung gefunden (in Wikipedia):

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Was ich nicht verstehe, ist, warum wir den radialen Teil verwenden können H l wie es in der Lösung geschrieben steht, anstatt des ganzen Hamiltonian? ich verstehe das L 2 wirkt nur auf Y l M geben ℏ 2 l ( l + 1 ) Y l M , aber ich verstehe nicht, wie wir diese Vereinfachung einbauen können

⟨ R E , l ( R ) Y l M ( φ , θ ) | D H D l | R E , l ( R ) Y l M ( φ , θ ) ⟩ .
Muss der Hamiltonianer nicht erst handeln Y l M abhängig zu sein l an erster Stelle?

Antworten (2)

Sobald wir uns entschieden haben, Zustände mit einer bestimmten azimutalen Quantenzahl zu betrachten ℓ , dh eine irreduzible Darstellung der 3D-Rotationsgruppe S Ö ( 3 ) , dann ist die S Ö ( 3 ) Casimir-Operator L → 2 wirkt als Eigenwert ℏ 2 ℓ ( ℓ + 1 ) .

Betrachten Sie einfach den radialen Hamilton-Operator als einen eigenen Hamilton-Operator. Sie möchten also eine Observable berechnen, die vage gesagt nur vom radialen Verhalten abhängt.

Alternativ können Sie immer vom vollständigen Hamilton-Operator ausgehen, partielle Ableitungen für jeden gewünschten Parameter vornehmen und Sie kommen zu derselben Antwort, da das Hellman-Feynman-Theorem immer noch gilt H ^ Und H ^ ℓ

Unter Verwendung des radialen Hamilton-Operators können wir substituieren L 2 mit seinen Eigenwerten dann? Scheint mir nicht so trivial, wie definieren wir den "radialen Hamiltonian" genau?
Definieren Sie es (pro Wert von ℓ wenn Sie möchten), wie es in der Wikipedia steht. Der Beweis gilt grundsätzlich Schritt für Schritt.
Erwartungswert ⟨1r2⟩⟨1r2⟩\langle \frac{1}{r^2} \rangle unter Verwendung des Hellmann-Feynman-Theorems
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