"Gute Zustände" in der degenerierten Störungstheorie

Nullter Ordnung in der Störungstheorie

Der Ausgangspunkt für die Störungstheorie ist die nullte Ordnung, wenn wir die Störung ignorieren und uns auf den freien Hamiltonoperator konzentrieren,$H_0$. Damit die degenerierte Störungstheorie relevant ist, muss es der Fall sein, dass der freie Hamiltonoperator mindestens ein entartetes Energieniveau hat. Jede Restsymmetrie kann verwendet werden, um die Zustände zu klassifizieren, nachdem die Entartung aufgehoben wurde.

Um dies konkret zu machen, nehmen wir an, Energie$E$, gibt es einen 2-dimensionalen entarteten Unterraum. Sagen wir das$|a\rangle$Und$|b\rangle$bilden eine Basis für diesen Unterraum. Dann gibt es unendlich viele Zustände, die Energie haben$E$, des Formulars$c_1 | a\rangle + c_2 |b\rangle$, Wo$|c_1|^2 + |c_2|^2 = 1$. Genauer gesagt für alle Paare komplexer Zahlen$c_1$Und$c_2$Einhaltung der Normalisierungsbedingung,

$$\begin{equation} H_0 \left(c_1 | a \rangle + c_2 | b \rangle \right) = E\left(c_1 | a \rangle + c_2 | b \rangle\right) \end{equation}$$ Mit anderen Worten, alle Zustände in diesem zweidimensionalen Raum haben die gleiche Energie$E$, und alle sind Eigenzustände des freien Hamiltonoperators.

Erste Ordnung in der Störungstheorie

Nun gehen wir zur ersten Ordnung in der Störungstheorie und fügen den Störungs-Hamiltonoperator hinzu,$H_1$. Typischerweise besteht das Ergebnis der Störung darin, die Entartung der Zustände mit Energie aufzuheben$E$. Dies bedeutet, dass das Energieniveau$E$wird in zwei Energieebenen aufgeteilt, eine mit Energie$E + \delta E_1$und eins mit Energie$E + \delta E_2$, mit$\delta E_1 \neq \delta E_2$.

Als Ergebnis allgemeiner Zustand des Formulars$c_1 |a \rangle + c_2 | b \rangle$, der ein Eigenzustand des freien Hamiltonoperators war$H_0$mit Energie$E$, wird kein Eigenzustand des vollständigen Hamiltonoperators sein$H_0 + H_1$.

Es wird jedoch ein spezielles Paar von Eigenzuständen des freien Hamiltonoperators geben, das wir nennen werden$|A \rangle$Und$|B \rangle$, die auch Eigenzustände von sind$H_0 + H_1$, mit Energien$E+\delta E_1$Und$E + \delta E_2$, bzw. Dies sind die sogenannten „guten Zustände“. Lassen Sie mich einige ihrer Eigenschaften durchgehen und dann darüber sprechen, wie man sie findet.

Eigenschaften von "guten" und "schlechten" Zuständen

Lassen Sie uns einige Eigenschaften dieser speziellen Zustände aufschreiben$|A \rangle$Und$|B \rangle$, sowie die nicht so speziellen Staaten$|a\rangle$Und$|b\rangle$, in Gleichungen.

• Erst seit$|A\rangle$Und$|B\rangle$sind Mitglieder des entarteten Unterraums von$H_0$mit Energie$E$, sie können in Bezug auf erweitert werden$|a\rangle$Und$|b \rangle$ $$\begin{eqnarray} |A \rangle &=& \alpha_1 | a \rangle + \alpha_2 | b \rangle \\ | B \rangle &=& \beta_1 | a \rangle + \beta_2 | b \rangle \end{eqnarray}$$ Wo$\alpha_{1, 2}$Und$\beta_{1,2}$sind komplexe Zahlen (Sie können sie sich als spezifische Auswahl von vorstellen$c_1$Und$c_2$). Sie können auch ausdrücken$|a \rangle$Und$|b\rangle$bezüglich$|A\rangle$Und$B\rangle$ $$\begin{eqnarray} |a \rangle &=& \gamma_1 | A \rangle + \gamma_2 | B \rangle \\ | b \rangle &=& \lambda_1 | A \rangle + \lambda_2 | B \rangle \end{eqnarray}$$
• Zweite,$|A\rangle$Und$|B\rangle$sind Eigenzustände des freien Hamiltonoperators$H_0$mit Energie$E$, Bedeutung $$\begin{eqnarray} H_0 | A \rangle &=& E | A \rangle \\ H_0 | B \rangle &=& E | B \rangle \end{eqnarray}$$ Natürlich,$|a \rangle$Und$|b\rangle$sind auch Eigenzustände von$H_0$ $$\begin{eqnarray} H_0 | a \rangle &=& E | a \rangle \\ H_0 | b \rangle &=& E | b \rangle \end{eqnarray}$$
• Dritte,$A\rangle$Und$|B\rangle$sind Eigenzustände von$H_0 + H_1$, aber jetzt mit anderen Energien $$\begin{eqnarray} \left(H_0 + H_1\right) | A \rangle &=& \left(E + \delta E_1\right) | A \rangle \\ \left(H_0 + H_1\right) | B \rangle &=& \left(E + \delta E_2\right) | B \rangle \end{eqnarray}$$ Allerdings _$|a \rangle$Und$| b \rangle$sind keine Eigenzustände von$H_0 + H_1$, seit $$\begin{eqnarray} \left(H_0 + H_1\right) | a \rangle &=& \gamma_1 \left(E + \delta E_1\right) | A \rangle + \gamma_2 \left(E + \delta E_2\right) | B \rangle \\ \left(H_0 + H_1\right) | b \rangle &=& \lambda_1 \left(E + \delta E_1\right) | A \rangle + \lambda_2 \left(E + \delta E_2\right) | B \rangle \end{eqnarray}$$

Da wir Eigenzustände des vollständigen Hamiltonoperators finden wollen,$H_0 + H_1$, mit dem wir ganz klar arbeiten wollen$|A\rangle$Und$|B\rangle$anstatt$|a \rangle$Und$|b\rangle$(oder irgendeiner der anderen unendlich vielen Zustände, die Eigenzustände von sind$H_0$mit Energie$E$). Allerdings zu finden$|A\rangle$Und$|B\rangle$kann schwierig sein.

Gute Zustände finden

Ich werde nicht versuchen, einen allgemeinen Algorithmus zum Konstruieren der guten Zustände anzugeben (obwohl es möglich ist). Stattdessen werde ich nur darauf hinweisen, dass oft Entartungen im Spektrum des freien Hamiltonoperators entstehen, weil eine Symmetrie vorliegt. Der Störungs-Hamiltonoperator neigt dazu, Symmetrien zu brechen.

Um konkret zu sein, nehmen wir das an$H_0$ist rotationssymmetrisch. Das heißt, er pendelt mit allen drei Komponenten des Drehimpulses,$L_i$, Wo$i=\{x, y, z\}$. Wir haben

$$\begin{equation} [H_0, L_i] = 0 \end{equation}$$ Dies ist der Ursprung der Kennzeichnung von Zuständen von Wasserstoff durch$|n, \ell, m \rangle$; Die$\ell, m$Quantenzahlen sind Eigenwerte zugeordnet$L^2$Und$L_z$, bzw.

Nun bricht typischerweise der Störungs-Hamiltonoperator die Symmetrie, sodass einige der Symmetrieoperatoren nicht mit pendeln$H_1$. Betrachten wir den Stark-Effekt, bei dem wir ein elektrisches Feld hinzufügen$z$Richtung. Dann$L_x$Und$L_y$wird nicht mit pendeln$H_1$. Als Ergebnis erwarten wir Zustände mit unterschiedlichen$\ell$Werte (der Eigenwert von$L^2$) unterschiedliche Energien zu haben -- der Verlust der Symmetrie hat die zuvor vorhandene Entartung aufgehoben. Jedoch,$L_z$pendelt mit$H_1$(da das System immer noch symmetrisch bezüglich Drehungen um die ist$z$Achse). Das bedeutet, dass$L_z$erfüllt die Eigenschaft

$$\begin{equation} [H_0, L_z] = [H_1, L_z] = 0 \end{equation}$$ Das heißt, wir können gleichzeitig den freien Hamiltonoperator diagonalisieren,$H_0$, der vollständige Hamiltonoperator,$H_0 + H_1$, und das$z$-Komponente des Drehimpulsoperators$L_z$. Eigenzustände von$L_z$sind leicht zu finden. Und da diese Zustände Eigenzustände von beiden sind$H_0$Und$H_0+H_1$, werden sie alle Eigenschaften der erfüllen$|A\rangle$Und$|B\rangle$oben angegebenen Zustände - die Eigenzustände von$L_z$sind die guten Zustände.

Im Allgemeinen, wenn wir einen hermiteschen Operator finden können$O$das pendelt mit$H_0$Und$H_1$, dann Eigenzustände von$O$sind gute Zustände für die degenerierte Störungstheorie.