Enthält der Hilbert-Raum Zustände, die keine Lösungen des Hamilton-Operators sind?

Ihre Frage hat eine gewisse Subtilität.

Für Quantensysteme mit endlich vielen Freiheitsgraden , wie sie üblicherweise in Intro QM behandelt werden, sind die Dinge relativ einfach:

1. Ja und nein: Der Hamiltonoperator bestimmt sicherlich eine Basis für den Hilbert-Zustandsraum, aber der funktionierende Hilbert-Raum hängt vom Definitionsbereich des Problems und den zugehörigen Randbedingungen ab. Siehe Partikel in einer 3D-Box vs. freie Partikel auf dem gesamten 3D-Raum, sowie Partikel in einer Box mit Dirichlet bc-s vs. Partikel in einer Box mit periodischen bc-s usw. Alternativ ist der Hilbert-Raum bestimmt durch die Algebra der Systemobservablen, wie in der Antwort von user1620696 angegeben, aber die beiden Beschreibungen sind letztendlich gleichwertig. Darüber hinaus gibt es eine noch tiefere Äquivalenz von Hilbert-Räumen, siehe Punkt (3) unten.

2. Jedes Teilchen lebt in seinem eigenen Hilbert-Raum, aber das kombinierte interagierende System lebt im direkten Produkt einzelner Hilbert-Räume. Siehe auch hier die Beziehung zur Algebra von Observablen wie in der Antwort von user1620696.

3. Abgesehen von Spin und den von Hosein erwähnten Spin-Wechselwirkungen, im Allgemeinen nein, ändert sich der Hilbert-Raum für eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden unter Störungen nicht. Gemäß dem Satz von Stone-von Neumann sind in diesem Fall alle möglichen Hilbert-Räume isomorph zueinander (oder äquivalent gibt es eine eindeutige irreduzible Darstellung der kanonischen Kommutierungsbeziehungen), daher macht die Unterscheidung untereinander keinen formalen Unterschied. Der gesamte Hilbert-Raum zerfällt höchstens in eine direkte Summe mehrerer isomorpher Kopien.

Für Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden , die das Gebiet der Quantenfeldtheorie sind, bleiben die obigen Punkte (1) und (2) weitgehend gültig, aber die Situation ändert sich drastisch in Bezug auf Punkt (3).

Das Stone-von-Neumann-Theorem gilt nicht für Quantenfelder, und man kann feststellen, dass bestimmte einheitliche Transformationen, die auf einem Hilbert-Raum definiert sind und um einen bestimmten Hamilton-Operator herum konstruiert sind, Zustände erzeugen, die orthogonal zu diesem gesamten Hilbert-Raum sind und in einem völlig neuen leben. ungleicher Zustandsraum. Dies ist der Fall von inäquivalenter Vakua vieler QFT-Hamiltonoperatoren, von kondensierter Materie (siehe Bosonenkondensation, Supraleitung usw.) bis QCD.

Ferner wird die Natur eines solchen inäquivalenten Vakuums (oder besser gesagt, einheitlich inäquivalenter Darstellungen der Dynamik ) durch die Natur der Wechselwirkungen zwischen Freifeldern bestimmt, die durch einen Freiteilchen-Hamiltonoperator und den entsprechenden Zustandsraum beschrieben werden.

Für eine Vorstellung davon, was vor sich geht, siehe zum Beispiel Abschnitt. 1.2 dieser Rezension über kanonische Transformationen in der Quantenfeldtheorie .

Es ist die Algebra der Observablen, die ihre möglichen Darstellungen bestimmt, dh die entsprechenden Hilbert-Räume.

Der Hamiltonoperator beschreibt die Dynamik innerhalb der gegebenen Darstellung.

Bearbeiten . Um ein wenig zu verdeutlichen, ist die übliche mathematische Beschreibung quantenmechanischer Systeme die folgende.

Die (beschränkten, komplexen) Observablen eines Quantensystems bilden eine involutive Banach-Algebra, die C*-Algebra genannt wird. Diese Struktur ermöglicht das Hinzufügen der Observablen ($+$), multipliziert ($\cdot$), angrenzend ($^*$) geschlossen; und gibt der "Größe" oder Norm einer gegebenen Observable eine Bedeutung. Die wahren physikalischen Observablen sind die selbstadjungierten Elemente der C*-Algebra$\mathfrak{A}$das befriedigt$a^*=a$(und somit echtes Spektrum haben). Die Quantenzustände sind die positiv erhaltenden Objekte des topologischen Duals$\mathfrak{A}^*$mit Norm eins.

Ein gängiges Beispiel für C*-Algebren sind die Algebren beschränkter Operatoren auf Hilbert-Räumen. Es stellt sich heraus, dass jede C* -Algebra eine Algebra von Operatoren auf einem Hilbert-Raum ist :

Satz [Gel'fand]. Jede C*-Algebra ist *-isomorph zu einer Algebra beschränkter Operatoren auf einem Hilbert-Raum.

Solange also die quantenbegrenzten Observablen durch eine C*-Algebra beschrieben werden, sind sie als Operatoren auf einem Hilbert-Raum darstellbar. Natürlich ist diese Darstellung nicht einzigartig; für jedes Bundesland$\omega\in\mathfrak{A}^*_+$, gibt es eine zugehörige Darstellung$(H_\omega, \pi_\omega,\Omega)$gegeben durch die sogenannte GNS-Konstruktion. Darüber hinaus ist die vorgenannte Darstellung nur dann irreduzibel, wenn der Zustand$\omega$ist rein.

Sagte das, die nächste Frage könnte die folgende sein. Sind alle irreduziblen Darstellungen einer gegebenen Algebra einheitlich äquivalent? (dh sind alle Darstellungen ungefähr äquivalent bis zu einem Basiswechsel?) Wenn die Antwort bejahend wäre, würde uns dies in gewissem Sinne sagen, dass der mit einer gegebenen Algebra von Observablen verbundene Hilbert-Raum eindeutig ist. Die Antwort ist jedoch im Allgemeinen nein ; ein sehr wichtiges Beispiel liefert die Algebra kanonischer Vertauschungsrelationen von (freien) Quantenfeldtheorien. Im Fall der Quantenmechanik dagegen ist jede irreduzible Darstellung der Algebra kanonischer Vertauschungsbeziehungen einheitlich äquivalent zur üblichen Schrödinger-Darstellung.

Der Hamiltonian ist teilweise davon unabhängig. Es ist der Generator der Quantendynamik$(U(t))_{t\in\mathbb{R}}$, und letzteres sollte natürlich auf die Algebra der Observablen (äquivalent auf Zustände) wirken. Angenommen, die gegebene Algebra der Observablen sei$\mathfrak{A}$, sollte die Evolution eine Gruppe von Automorphismen in der Algebra mit einigen geeigneten Stetigkeitseigenschaften in Bezug auf die Zeit sein$t$. In vielen konkreten Anwendungen müssen wir jedoch eine ausreichend große Algebra von Observablen berücksichtigen, damit dies mit einer Evolution möglich ist, die den von uns gewünschten Anforderungen entspricht (z. B. gegeben durch Beobachtungen am System). Die Algebra der kanonischen Vertauschungsbeziehungen$\mathrm{CCR}$kann nicht ausreichen, und um es zu vergrößern, können wir zum Beispiel eine irreduzible Darstellung fixieren$(H,\pi)$so dass$\pi(a)\in\mathcal{L}(H)$für alle$a\in\mathrm{CCR}$ist ein beschränkter Operator. Der Bikommutant$\pi(\mathrm{CCR})''$der Algebra kanonischer Vertauschungsrelationen in der Darstellung$\pi$enthält$\pi(\mathrm{CCR})$und besteht aus allen beschränkten Operatoren auf$\mathcal{L}(H)$die mit allen Operatoren pendeln die mit allen Operatoren pendeln in$\pi(\mathrm{CCR})$(und es ist eine C*-Algebra). Auf einem solchen Bikommutanten oder allgemeiner auf$\mathcal{L}(H)$, kann es möglich sein, die einheitliche Evolution zu definieren$(U(t))_{t\in\mathbb{R}}$und sein Generator, der Hamiltonian. Dieser Hamiltonoperator ist jedoch darstellungsabhängig (bezüglich der kanonischen Vertauschungsrelationen), weil im Allgemeinen$U(t)[\pi(\mathrm{CCR})]\not\subset \pi(\mathrm{CCR})$.

Der Punkt ist, dass man zuerst den Hilbert-Raum eines Systems identifizieren sollte und dann seinen Hamilton-Operator schreibt. Bei gewöhnlichen Problemen ist es einfach, den richtigen Hilbert-Raum zu definieren, und man schreibt den Hamilton-Operator, ohne Zeit damit zu verbringen, den Hilbert-Raum zu finden. zum Beispiel ein Teilchen ohne Spin. Wenn Sie also einen Hamilton-Operator schreiben, sollten Sie zuerst den Hilbert-Raum kennen.

Noch ein Punkt: Manchmal kennen die Leute die Struktur des Hilbert-Raums eines Problems nicht, sie schreiben einfach einen Hamilton-Operator, indem sie raten, und versuchen dann, die Struktur des Hilbert-Raums herauszufinden, ein Beispiel ist die Quantisierung freier Felder, die sich dreht heraus, um der Fock Raum zu geben - die direkte Summe von null, eins, zwei,$\dots$Teilchenzustände.

Die Antwort auf Ihre Fragen lautet also:

1. Ja, in dem Sinne, dass seine Eigenvektoren eine Basis eines Hilbert-Raums sind, aber ob dieser Hilbert-Raum geeignet ist, um Ihr System zu beschreiben, von dem Sie ein Modell erstellen möchten oder nicht, ist eine andere Geschichte.

2. Nein, nur wenn sie völlig unabhängig voneinander sind und keine Wechselwirkung zwischen ihnen besteht, dann hat jeder seinen eigenen Hilbert-Raum. Trotzdem kann man für diese beiden Teilchen einen Hamiltonoperator durch ein Tensorprodukt schreiben.

3. Wie gesagt, wenn Sie den Hilbert-Raum definiert haben, dann sollte jeder Term im Hamilton-Operator ein wohldefinierter Operator auf diesem Hilbert-Raum sein. Aber wenn Sie den Hilbert-Raum nicht zuerst definiert haben, dann ja, der Hilbert-Raum kann geändert werden, indem neue Terme zum Hamilton-Operator hinzugefügt werden. Zum Beispiel durch Hinzufügen eines Terms, der vom Spin des Teilchens abhängt, zum Hamilton-Operator eines spinlosen Teilchens, der nur von Orts- und Impulsoperatoren abhängt.

Ein Hilbertraum ist per Definition nur ein Vektorraum$\mathcal{H}$über$\mathbb{C}$ausgestattet mit einem inneren Produkt$\langle,\rangle :\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{C}$so dass der Abstand definiert wird$d :\mathcal{H}\times \mathcal{H}\to \mathbb{R}$,

der resultierende metrische Raum$(\mathcal{H},d)$ist vollständig in dem Sinne, dass jede Cauchy-Folge gegen einen Punkt in konvergiert$\mathcal{H}$.

Ein wichtiges Ergebnis ist:

Zwei Hilbert-Räume sind genau dann isometrisch isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben

Für jede Dimension gibt es also genau einen Hilbert-Raum. Wenn die Dimension ist$n\in\mathbb{N}$Dann$\mathcal{H}\simeq \mathbb{C}^n$, und wenn die Dimension unendlich ist, haben wir$\mathcal{H}\simeq \ell^2(\mathbb{C})$, Sein$\ell^2(\mathbb{C})$der Raum der Sequenzen$(a_n)_{n\in \mathbb{N}}$von komplexen Zahlen$a_n\in \mathbb{C}$so dass$\sum |a_n|^2 < \infty$.

In der Quantenmechanik erscheint der Hilbert-Raum im ersten Postulat:

1. Die Zustände eines Quantensystems werden durch Vektoren in einem Hilbert-Raum, dem sogenannten Zustandsraum, beschrieben$\mathcal{E}$.

Die Observablen erscheinen im zweiten Postulat:

2. Zu jeder dem System zugeordneten physikalischen Größe gibt es einen hermiteschen Operator$A\in \mathcal{L}(\mathcal{H},\mathcal{H})$, ein solcher Operator wird als beobachtbar bezeichnet.

Der Hamilton-Operator ist nur eine bestimmte Observable: die Observable, die der Gesamtenergie des Systems zugeordnet ist.

Lassen Sie uns nun Ihre Fragen der Reihe nach angehen:

1. Der Hamilton-Operator bestimmt den Hilbert-Raum nicht. Interessanterweise bestimmen die Observablen den Hilbert-Raum. In Wahrheit bilden die Observablen eine Algebra, die als Observable Algebra bezeichnet wird, und diese Observable Algebra bestimmt den Hilbert-Raum. Stellen Sie sich ein Teilchen in einer Dimension vor: Es kann dem Potenzial des unendlichen quadratischen Topfes, dem Potenzial des eindimensionalen harmonischen Oszillators oder sogar dem Delta-Potential ausgesetzt sein, aber in jedem dieser Fälle ist der Hilbert-Raum derselbe.

2. Das Zwei-Teilchen-System wird durch einen anderen Hilbert-Raum beschrieben, nicht wegen der Hamiltonianer, sondern wegen der beobachtbaren Algebra. Wenn Partikel eins beschrieben wird$\mathcal{E}_1$und Teilchen zwei wird beschrieben durch$\mathcal{E}_2$, dann wird das Zwei-Teilchen-System beschrieben durch$\mathcal{E}_1\otimes \mathcal{E}_2$. Wenn die Teilchen nicht wechselwirkten, wäre dies der resultierende Hamilton-Operator$H = H_1\otimes \mathbf{1} + \mathbf{1}\otimes H_2$, andernfalls gäbe es Wechselwirkungsterme.

3. Auch hier wird der Raum nicht durch den Hamilton-Operator bestimmt. Der Hamilton-Operator ist nur eine bestimmte Observable. Wenn Sie dem Hamilton-Operator Terme hinzufügen, ändern Sie nur die beobachtbare Energie, aber Sie ändern nicht den Zustandsraum. Auch hier wird der Zustandsraum durch die beobachtbare Algebra bestimmt, nicht durch die besondere Form einer Observablen.