Frage zum Beweis von: Damit variabel trennbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung normalisierbar sind, muss die Trennkonstante reell sein

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Frage zum Beweis von: Damit variabel trennbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung normalisierbar sind, muss die Trennkonstante reell sein

AB

Ich muss beweisen: Damit variabel trennbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung normalisierbar sind, muss die Trennkonstante reell sein.

Dies lässt sich wie folgt beweisen:

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} | Ψ (X, T) |^{2} D X & = \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) ϕ (T) |^{2} D X \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) e^{- ich k T / ℏ} |^{2} D X \\ = \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) e^{- ich (k_{R} + ich k_{ICH}) T / ℏ} |^{2} D X \\ = e^{2 k_{ICH} T / ℏ} \int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) |^{2} D X \end{aligned}

$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty |\Psi(x,t)|^2 dx & = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)\phi(t)|^2 dx\\ & = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)e^{-ikt/\hbar}|^2 dx\\ & = \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)e^{-i(k_R + ik_I)t/\hbar}|^2 dx\\ & = e^{2k_It/\hbar}\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 dx\\ \end{align}$ Der zweite Faktor (Integral) ist unabhängig von

t

$t$ und damit das Produkt eine endliche Nicht-Null-Konstante ist, sollte der erste Faktor auch unabhängig von der Zeit sein, was möglich ist, wenn iff

k_{I} = 0

$k_I = 0$ (dh iff

k \in R

$k \in \mathbb{R}$ ). (QED)

(Hier $k = k_R + i k_I$ (Wo $k_R$ Und $k_I$ reelle Zahlen sind) ist die Trennkonstante und exp (Integrationskonstante) aus $\phi(t)$ eingezogen ist $\psi(x)$ . Bitte beachten Sie auch, dass ich verwende $k$ anstatt $E$ um die Trennungskonstante zu bezeichnen.)

ABER ich war nicht erfolgreich bei dem Versuch, dasselbe mit Gleichung 1.26, Abschnitt 1.4, Einführung in die Quantenmechanik (2. Auflage) (von David Griffiths) zu beweisen. Die Gleichung, auf die ich mich beziehe, lautet:

$\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^\infty |\Psi(x,t)|^2 dx = \frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^*}{\partial x})|_{-\infty}^{\infty}$ (wenn die potentielle Energiefunktion reell ist)

Wenn ich tausche $\Psi(x,t)$ von $\psi(x)\phi(t)$ in obiger gleichung erhalte ich:

$\frac{d}{dt} \int_{-\infty}^\infty |\Psi(x,t)|^2 dx = \frac{i\hbar}{2m} |\phi(t)|^2 (\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x})|_{-\infty}^{\infty} = \frac{i\hbar}{2m} e^{2k_It/\hbar} (\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x})|_{-\infty}^{\infty}$

Nun, sollte nicht $\psi$ auf Null gehen als $x$ geht zu $\pm\infty$ , damit die Wellenfunktion normierbar ist? (Griffiths sagt direkt unter Gleichung 1.26, dass "... $\Psi(x,t)$ muss wie auf Null gehen $x$ geht zu $\pm\infty$ - sonst wäre die Wellenfunktion nicht normierbar." Hier, würde das nicht heißen $\psi(x)$ muss wie auf Null gehen $x$ geht zu $\pm\infty$ ?) Wenn es auf Null geht, dann wäre die RHS gleich Null, egal ob $|\phi(t)|^2$ eine Konstante ist oder nicht, dh unabhängig davon, ob die Trennungskonstante reell ist oder nicht.

Übersehe ich hier etwas?

Könnte das möglich sein $\psi(x)$ geht nicht auf null wenn $x$ geht zu $\pm\infty$ für $k \in \mathbb{C \setminus R}$ ?

AB

@ZeroTheHero Der Teil, auf den Sie sich beziehen, ist wahrscheinlich derjenige mit

k_{I}

$k_I$ . Der Exponent ist eine reelle Zahl. Den Imaginärteil habe ich bereits entfernt.

AB

@ZeroTheHero. Bitte überprüfen Sie es noch einmal. Ich habe die Klarstellung hinzugefügt.

baponkar

| e x p (- i k t) |^{2} = 1

$|exp(-ikt)|^2=1$ . Entweder "k" ist real oder imaginär.

AB

@baponkar Ich gehe davon aus

k

$k$ ist eine allgemeine komplexe Zahl

k_{R} + i k_{I}

$k_R+ik_I$ Wo

k_{R}

$k_R$ Und

k_{I}

$k_I$ sind real. So,

- i k = - i (k_{R} + i k_{I}) = - i k_{R} + k_{I}

$-ik = -i(k_R+ik_I) = -ik_R+k_I$ .

baponkar

e x p (- i k t) = e x p (- i k_{R} t) . e x p (k_{I} t)

$exp(-ikt)=exp(-ik_R t).exp(k_I t)$ ;

e x p (i k t) = e x p (i k_{R} t) . e x p (- k_{I} t)

$exp(ikt)=exp(ik_R t).exp(-k_I t)$ .so |exp(-ik t)|^2=1.nur Algebra

Sean E. Lake

@baponkar du machst es falsch. Für komplexes Konjugieren müssen Sie die Vorzeichen beider umkehren

i

$i$ s, also für komplex

k

$k$ ,

| \exp (- i k t) |^{2} = \exp (2 k_{I} t)

$|\exp(-ikt)|^2 = \exp(2k_It)$ .

baponkar

[e x p (- i k)]^{*} = e x p (i k^{*})

$[exp(-ik)]^* = exp(ik^*)$ ; Wo

k^{*} = k_{R} - i k_{I}

$k^*=k_R-i k_I$ !

Sean E. Lake

@baponkar Sehr gut.

i k^{*} = i k_{R} + i (- i k_{I}) = i k_{R} + k_{I}

$ik^* = ik_R + i (-ik_I) = ik_R + k_I$ . :)

Antworten (1)

Frage zum Beweis von: Damit variabel trennbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung normalisierbar sind, muss die Trennkonstante reell sein

@ZeroTheHero Der Teil, auf den Sie sich beziehen, ist wahrscheinlich derjenige mit $k_I$ . Der Exponent ist eine reelle Zahl. Den Imaginärteil habe ich bereits entfernt.
@ZeroTheHero. Bitte überprüfen Sie es noch einmal. Ich habe die Klarstellung hinzugefügt.
@baponkar Ich gehe davon aus $k$ ist eine allgemeine komplexe Zahl $k_R+ik_I$ Wo $k_R$ Und $k_I$ sind real. So, $-ik = -i(k_R+ik_I) = -ik_R+k_I$ .
$exp(-ikt)=exp(-ik_R t).exp(k_I t)$ ; $exp(ikt)=exp(ik_R t).exp(-k_I t)$ .so |exp(-ik t)|^2=1.nur Algebra
@baponkar du machst es falsch. Für komplexes Konjugieren müssen Sie die Vorzeichen beider umkehren $i$ s, also für komplex $k$ , $|\exp(-ikt)|^2 = \exp(2k_It)$ .
@baponkar Sehr gut. $ik^* = ik_R + i (-ik_I) = ik_R + k_I$ . :)

Sean E. Lake · Answer 1

Das Schwierige ist, dass Ihre letzte Gleichung tatsächlich beweist, dass die hinreichende Bedingung für die Normalisierung konstant ist, dass die Nettowahrscheinlichkeit durch die Grenzen (at $\pm\infty$ ) null sein.

Nun, streng genommen, selbst wenn $k_I\neq0$ Die Wellenfunktion ist immer noch normalisierbar - durch die Normalisierung wird nur der Faktor von gelöscht $\exp(k_It)$ , indem Sie es aus Ihrer Wellenfunktion entfernen. Angenommen, Ihre ursprüngliche nicht normalisierte Wellenfunktion ist $\Psi$ definieren

\begin{matrix} (1) & Ψ_{N} = \frac{Ψ}{\sqrt{\int | Ψ |^{2} D X}} \end{matrix}

$\Psi_N = \frac{\Psi}{\sqrt{\int |\Psi|^2 \, \mathrm{d}x}} \tag1$ und sieh zu, wie es verschwindet.

Das ist jedoch nur ein Nitpick der Terminologie. Das eigentliche Problem ist das nicht $\Psi$ ist nicht normalisierbar, es ist so, dass es eine nicht angegebene Randbedingung nicht erfüllt: $\Psi$ muss für endlich sein $t\rightarrow \pm \infty$ . Diese Randbedingung ist weniger streng als dies zu verlangen $\Psi$ normalisiert werden (Anmerkung: nicht normalisierbar, normalisiert), aber es reicht aus, um die Arbeit zu erledigen.

Es gibt natürlich auch einen anderen Weg, den Sie nehmen können. Sie können sich auf die konzentrieren $x$ Gleichung statt der $t$ eins:

\begin{matrix} (2) & - \frac{ℏ^{2}}{2 M} ψ^{″} + v (X) ψ = k ψ . \end{matrix}

$-\frac{\hbar^2}{2m} \psi'' + V(x)\psi = k \psi. \tag2$ Nimm das komplexe Konjugat von (2) und nenne es (3). Multipliziere (2) mit

ψ^{*}

$\psi^*$ und (3) durch

ψ

$\psi$ dann beide Seiten über alles integrieren

x

$x$ . Subtrahieren Sie nun die Gleichungspaare und bearbeiten Sie die Integrale durch partielle Integration, um nur Oberflächenterme (dh etwas von der Form

[\dots]_{x = - \infty}^{\infty}

$[\ldots]_{x=-\infty}^\infty$ ). Die rechte Seite wird sein

(k - k^{*}) \int | ψ |^{2} d x

$(k - k^*) \int |\psi|^2 \, \mathrm{d}x$ . Normalisierbarkeit erfordert, dass die linke Seite der Gleichung verschwindet. Die rechte Seite kann nur verschwinden, wenn

k = k^{*}

$k=k^*$ , qd

Diese letzte Version ist ein Beispiel dafür, wie man beweist, dass die Eigenwerte eines hermiteschen Operators real sind.

Vielen Dank für die Beantwortung meiner Frage. Darf ich Ihnen noch eine Frage stellen: Wie genau ist Normalisierbarkeit definiert? (Und was genau ist eine normalisierbare Wellenfunktion?) Außerdem hängt dies tatsächlich mit einem Problem in Introduction to Quantum Mechanics (2nd Ed) (von David Griffiths) zusammen - Problem 2.1 fordert den Leser auf, zu beweisen, dass "Für normalisierbare Lösungen die Trennungskonstante muss echt sein."
@AB Das Anwenden von Gleichung (1) wird als Normalisieren einer Wellenfunktion bezeichnet. Eine normalisierbare Wellenfunktion ist also eine, auf die wir (1) anwenden können, ohne Probleme mit dem Teilen durch Null oder Unendlich. Das Wort „normalisierbar“ bedeutet wörtlich „kann normalisiert werden“. Ich vermute, dass Griffiths mit seiner Verwendung einfach schlampig ist.
1) Wäre es angemessener zu sagen "... die hinreichende Bedingung für die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen existiert (oder die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen dazwischen zu finden $x \to -\infty$ Und $x \to +\infty$ ) konstant zu sein, bedeutet, dass der Nettowahrscheinlichkeitsstrom durch die Grenzen Null ist.“ Und ist diese Bedingung nicht auch notwendig? Und 2) Warum ist ' $\Psi$ muss für endlich sein $t \to \pm \infty$ ' eine Randbedingung? Welche körperliche Einschränkung vermittelt es? Bezieht es sich auf die Sicherstellung der Endlichkeit von $|\Psi|^2$ für alle $x$ Und $t$ ?
Und 3) Kann ich sagen "Die Trennungskonstante muss echt sein, damit $\Psi$ erfüllt die Randbedingung, dass ' $\Psi$ muss für endlich sein $t \to \pm \infty$ ' oder so $\Psi$ ist für alle Werte von normalisierbar $t$ (als $\Psi_N$ nimmt die Form an $\infty/\infty$ Und $0/0$ für $t \to \pm \infty$ (oder in der anderen Reihenfolge, je nachdem, ob $k_I$ ist positiv oder negativ))"
@AB "Kann ich sagen ..." Sie können alles sagen, aber Sie sollten mit Ihrem TA und / oder Professor besprechen, was sie akzeptieren. 1) Seien Sie vorsichtig, dort. IIRC, die volle Logik ist das für $H$ um hermitesch zu sein, muss der Wahrscheinlichkeitsfluss an den Rändern verschwinden, und $H$ hermitesch zu sein impliziert die reale Konstante. Wenn Sie diese Bedingung erfüllen und $H$ ist nicht hermitesch, keine Würfel.
@ AB 2) $|\Psi|^2$ muss nicht für alle endlich sein $x$ Und $t$ . In Betracht ziehen $\exp(-|x|) / |x|^{1/3}$ . Es ist nicht endlich $x=0$ , aber ansonsten recht brav. Es ist genauer, das zu sagen $\int_a^b |\Psi|^2\, \mathrm{d}x$ muss für jedes endliche Intervall endlich sein $a,b\in(-\infty,\infty)$ , und die Normalisierbarkeit erfordert, dass Sie auch das unendliche Intervall zulassen. Der Grund, den ich es als angegeben habe $\Psi$ Endlich ist, dass in Ihrem Beispiel $\Psi$ war überall unendlich $\psi\neq0$ . Der Grund dafür kann je nach Formalismus in Form von Wahrscheinlichkeit oder Energie beschrieben werden.
Die normierte Wellenfunktion ( $\Psi_N$ ), die unter Verwendung von Gleichung (1) aus einer variablen-separierbaren Wellenfunktion erhalten wird, die unter Verwendung einer nicht-reellen Separationskonstante berechnet wird, erfüllt nicht die entsprechende zeitabhängige Schrödinger-Gleichung. Würde es immer noch als normalisierte Form der variabel-separierbaren Wellenfunktion betrachtet werden? (Ich mache gerade keinen Kurs darüber, sonst hätte ich das mit meinem TA besprochen. Entschuldigung, dass ich Sie mit solch trivialen Fragen belästige.)
@AB Guter Punkt. Aber ich bin mir ziemlich sicher, dass Sie das nicht real zeigen können $k$ bewirkt, dass der räumliche Teil der Wellenfunktion ausfällt $\psi\rightarrow 0$ als $x \rightarrow \pm \infty$ , also ist es irgendwie strittig. (Anmerkung: "ziemlich sicher" bedeutet, dass ich im Moment nicht genau weiß, wie).

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