Wie bestimmt man die Wellenfunktion für ein freies Teilchen in einer komplexen Potentialfunktion?

Das Potential für ein freies Teilchen in einem Potentialfeld ist gegeben durch

$$\begin{equation} V(x) = V_0\theta(x) - w\delta(x) \end{equation}$$ in welchem$\theta(x)$ist die Einheitsschrittfunktion,$\delta(x)$ist die Dirac-Delta-Funktion, und$V_0$Und$w$sind streng positive Konstanten. Ein Massenteilchen$m$entwickelt sich in einem solchen Potenzial.

Wie bestimme ich die Wellenfunktion an allen Teilen in Position?

Die Wellenfunktion sei dargestellt durch$\psi(x,t)$, Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist gegeben durch

$$\frac{-\hbar^2}{2m} \frac{\delta ^2\psi }{\delta x^2} + V \psi = E \psi$$ Die Potentialfunktion könnte geschrieben werden als $$V(x) \begin{cases} 0 & x<0 \\ -\infty & x= 0 \\ V_0 & x>0 \end{cases}$$ Die Wellenfunktion muss stetig und differentiell sein$x=0$. Damit erhalten wir die Randbedingungen,

So lösen wir die allgemeine Gleichung für die Wellenfunktion, die wir erhalten

$$\psi(x) \begin{cases} 0 & x<0 \\ -\infty & x= 0 \\ V_0 & x>0 \end{cases}$$ Die allgemeine Lösung für ein festes Energie-Festpotential Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen ist gegeben durch:

$$\psi(x) \begin{cases} A_1 e^{ik_1x} + B_1 e^{-ik_1x} & x<0 & k _1=\sqrt{2m \frac{-E}{\hbar^2}}\\ C & x= 0 \\ A_3 e^{ik_3x} + B_3 e^{-ik_3x}& x>0 & k_3 =\sqrt{2m \frac{V_0-E}{\hbar^2}}\\ \end{cases}$$ Nach Überprüfung der Randbedingungen erhalten wir (unter der Annahme, dass E nicht Null ist) $$\begin{align} A_1 + B_1 = A_3 + B_3 = C \\ A_1 k_1 - B_1 k _1 = A_3k _3 - B_3 k_3 \end{align}$$ Für die Normalisierung und die Wahrscheinlichkeitsbeschränkung benötigen wir Folgendes, um wahr zu sein:

$$\begin{align} \int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 dx &= 1 \\ \int_{-\infty}^0 |\psi(x)|^2 dx +\int_{0}^\infty |\psi(x)|^2 dx = 1 \\ \end{align}$$