Eindimensionale Schrödinger-Gleichung Gleichung mit Anfangsbedingung, Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der zukünftigen Position des Teilchens

Question

Eindimensionale Schrödinger-Gleichung Gleichung mit Anfangsbedingung, Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der zukünftigen Position des Teilchens

Freimann

Ein Massenteilchen $m$ bewegt sich frei im Intervall $[0,a]$ auf der $x$ Achse. Zunächst ist die Wellenfunktion:

F (X) = \frac{1}{\sqrt{3}} Sünde (\frac{π X}{A}) [1 + 2 \cos (\frac{π X}{A})]

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sin}\Big( \frac{\pi x}{a} \Big)\Big[1+2\operatorname{cos}\Big( \frac{\pi x}{a} \Big) \Big]$

Ich lasse die normierte Wellenfunktion in einer Dimension sein:

Φ_{N} (X, T) = \sqrt{\frac{2}{A}} Sünde (\frac{N π X}{A}) \exp (\frac{- ich N^{2} π^{2} H T}{2 M A^{2}})

$\Phi_n(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\operatorname{sin}\Big( \frac{n\pi x}{a} \Big)\operatorname{exp} \Big( \frac{-in^2\pi^2 h t}{2ma^2} \Big)$ Wo

h

$h$ Ist

2 π

$2\pi$ Plancksche Konstante. Also hier habe ich gesagt, dass als

F (X) = \frac{1}{\sqrt{2}} [Φ_{1} (X, 0) + Φ_{2} (X, 0)]

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\Phi_1(x,0)+\Phi_2(x,0)]$ Das für später

t

$t$ Die Wellenfunktion des Teilchens ist gegeben durch:

Φ (X, T) = \frac{1}{\sqrt{2}} [Φ_{1} (X, T) + Φ_{2} (X, T)]

$\Phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}[\Phi_1(x,t)+\Phi_2(x,t)]$ Kann mir jemand helfen, das zu normalisieren? (oder zeigen, dass es bereits normalisiert ist, ich vermute jedoch, dass dies nicht der Fall ist). Und helfen Sie mir, die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass sich das Teilchen im Intervall befindet

[0, a / 2]

$[0,a/2]$ .

Ein Problem, auf das ich stoße, ist:

| Φ |^{2} = \frac{1}{2} | Φ_{1} + Φ_{2} |^{2} = \frac{1}{2} (Φ_{1} + Φ_{2}) \bar{(Φ_{1} + Φ_{2})} =

$|\Phi|^2=\frac{1}{2}|\Phi_1+\Phi_2|^2=\frac{1}{2}(\Phi_1+\Phi_2)\overline{(\Phi_1+\Phi_2)}=$

\Rightarrow | Φ |^{2} = \frac{1}{2} (| Φ_{1} |^{2} + | Φ_{2} |^{2} + [\bar{(Φ_{1})} (Φ_{1}) + \bar{(Φ_{1})} (Φ_{1})])

$\Rightarrow |\Phi|^2=\frac{1}{2}(|\Phi_1|^2+|\Phi_2|^2+[\overline{(\Phi_1)}{(\Phi_1)}+\overline{(\Phi_1)}{(\Phi_1)}])$

\Rightarrow \int_{0}^{A} | Φ |^{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{A} | Φ_{1} |^{2} + | Φ_{2} |^{2} D X + \frac{1}{2} \int_{0}^{A} \bar{(Φ_{1})} (Φ_{2}) + \bar{(Φ_{2})} (Φ_{1})

$\Rightarrow \int_0^a|\Phi|^2=\frac{1}{2}\int_0^a|\Phi_1|^2+|\Phi_2|^2\operatorname{d}x+ \frac{1}{2}\int_0^a\overline{(\Phi_1)}{(\Phi_2)}+\overline{(\Phi_2)}{(\Phi_1)}$

\Rightarrow \int_{0}^{A} | Φ |^{2} = 1 + \frac{1}{2} \int_{0}^{A} \bar{(Φ_{1})} (Φ_{2}) + \bar{(Φ_{2})} (Φ_{1})

$\Rightarrow \int_0^a|\Phi|^2=1+ \frac{1}{2}\int_0^a\overline{(\Phi_1)}{(\Phi_2)}+\overline{(\Phi_2)}{(\Phi_1)}$

Von hier aus kann ich nicht sehen, wie ich vorgehen soll, um die Wellenfunktion zu normalisieren.

David z

Ist das zufällig eine Hausaufgabe oder eine Frage zum Selbststudium? Es klingt irgendwie so (nicht, dass daran etwas falsch wäre, nur, dass es das Hausaufgaben- Tag haben sollte, wenn das angemessen ist).

Antworten (3)

Eindimensionale Schrödinger-Gleichung Gleichung mit Anfangsbedingung, Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der zukünftigen Position des Teilchens

Ist das zufällig eine Hausaufgabe oder eine Frage zum Selbststudium? Es klingt irgendwie so (nicht, dass daran etwas falsch wäre, nur, dass es das Hausaufgaben- Tag haben sollte, wenn das angemessen ist).

Endstation · Answer 1

Die zu berechnenden Integrale sind nicht so schwierig. Zunächst einmal sind die räumlichen Anteile Ihrer Wellenfunktionen reell (das ist klug und immer in einer Dimension möglich), und daher spielen komplexe Konjugierte einfach keine Rolle. Das verbleibende Integral, das Sie auf der rechten Seite haben, ist also (bis auf einen von t (S(t)) abhängigen Ausdruck, den wir jetzt verlassen werden):

ICH (T) = S (T) \int_{0}^{A} Φ_{N} (X) Φ_{M} (X) D X = S (T) \frac{2}{A} \int_{0}^{A} Sünde (\frac{N π X}{A}) Sünde (\frac{M π X}{A}) D X

$I(t) = S(t) \int_0^a\Phi_n(x)\Phi_m(x) dx = S(t) \frac{2}{a} \int_0^a \operatorname{sin}\Big( \frac{n\pi x}{a} \Big) \operatorname{sin}\Big( \frac{m\pi x}{a} \Big)dx$

Jetzt müssen Sie eine Substitution vornehmen $t = \frac{\pi x}{a}$ zu bekommen

ICH (T) = S (T) \frac{2}{π} \int_{0}^{π} Sünde (N X) Sünde (M X) D X

$I(t) = S(t) \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \operatorname{sin} ( n x ) \operatorname{sin} ( m x )dx$

Erstens, wenn entweder n oder m 0 sind, dann ist I(t) = 0 und Ihr Anfangszustand ist normalisiert.

Jetzt integrieren Sie nach Teilen (oder nach Mathematik, wenn Sie nicht nach Teilen können), um zu erhalten

ICH (T) = S (T) \frac{2}{π} [- (\frac{1}{M} Sünde N X \cos M X) |_{0}^{π} + \frac{N}{M} \int_{0}^{π} \cos N X \cos (M X) D X]

$I(t) = S(t) \frac{2}{\pi} [ -(\frac{1}{m} \sin{n x} \cos{m x}) |_0^\pi + \frac{n}{m} \int_0^\pi \cos{n x} \cos({m x}) dx]$

Der erste Term ist 0 (weil Sünde in allen Vielfachheiten von 0 ist $\pi$ ). Jetzt können wir mit der Integration durch Teile des zweiten Terms fortfahren.

ICH (T) = S (T) \frac{2}{π} (\frac{N}{M} \int_{0}^{π} \cos N X \cos (M X) D X) = S (T) \frac{2}{π} [(\frac{N}{M^{2}} \cos N X Sünde M X) |_{0}^{π}

$I(t) = S(t) \frac{2}{\pi} ( \frac{n}{m} \int_0^\pi \cos{n x} \cos({m x}) dx) = S(t) \frac{2}{\pi} [ (\frac{n}{m^2} \cos{n x} \sin{m x}) |_0^\pi$

+ \frac{N^{2}}{M^{2}} \int_{0}^{π} Sünde N X Sünde (M X) D X] = \frac{N^{2}}{M^{2}} ICH (T)

$+ \frac{n^2}{m^2} \int_0^\pi \sin{n x} \sin({m x}) dx] = \frac{n^2}{m^2} I(t)$

Es gibt also zwei Möglichkeiten - entweder n=m oder I(t)=0 (n=-m ist ausgeschlossen, da negative Labels nicht in der Basis enthalten sind, weil sin(-nx) = -sin(nx) - lineare Abhängigkeit). Was Sie erhalten, ist ORTHOGONALITY RELATION - wenn Eigenvektoren unterschiedliche Labels haben (z. B. 1 und 2 wie in Ihrem Fall), sind sie orthogonal $L^2([0,a])$ das zufällig Ihr Hilbert-Raum ist. Es gibt Sätze, die besagen, dass dies für Hamiltonsche Eigenzustände immer gilt – die entsprechende Theorie der Differentialoperatoren ist als Strum-Liouville-Theorie bekannt (für endlichdimensionale Hilbert-Räume ist dies eine triviale Eigenschaft von selbstadjungierten Operatoren).

Nun zum zweiten Teil Ihrer Frage. Der quadratische Betrag der Wellenfunktion ist per Definition die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Teilchen in einem Intervall zu finden $dx$

Die Wahrscheinlichkeit, Teilchen in [0,a/2] zu finden, ist also einfach

\int_{0}^{A / 2} | F (X, T) |^{2} D X = \frac{1}{2} \int_{0}^{A / 2} | Φ_{1} (X) |^{2} + | Φ_{2} (X) |^{2} D X +

$\int_0^{a/2} |f(x,t)|^2 dx = \frac{1}{2}\int_0^{a/2} |\Phi_1(x)|^2 + |\Phi_2(x)|^2 dx +$

\frac{1}{2} \int_{0}^{A / 2} Φ_{1} (X) Φ_{2} (X) \exp ((- 1^{2} + 2^{2}) \frac{- ich π^{2} H T}{2 M A^{2}}) + Φ_{2} (X) Φ_{1} (X) \exp ((- 2^{2} + 1^{2}) \frac{- ich π^{2} H T}{2 M A^{2}})

$\frac{1}{2}\int_0^{a/2} \Phi_1(x) \Phi_2(x) \operatorname{exp} \Big( (-1^2+2^2)\frac{-i\pi^2 h t}{2ma^2} \Big)+ \Phi_2(x) \Phi_1(x) \operatorname{exp} \Big( (-2^2+1^2) \frac{-i\pi^2 h t}{2ma^2} \Big)$

= \frac{1}{2} \int_{0}^{A / 2} | Φ_{1} (X) |^{2} + | Φ_{2} (X) |^{2} D X + \cos \frac{3 π^{2} H T}{2 M A} \int_{0}^{A / 2} Φ_{1} (X) Φ_{2} (X) D X

$= \frac{1}{2}\int_0^{a/2} |\Phi_1(x)|^2 + |\Phi_2(x)|^2 dx + \cos{\frac{3\pi^2 h t}{2ma}} \int_0^{a/2} \Phi_1(x) \Phi_2(x) dx$

Das erste Integral ist einfach 1, weil wir die Hälfte der Fläche von nehmen $sin(x)^2$ Und $sin(2x)$ , und fügen Sie es hinzu. Das zweite Integral kann leicht mit der doppelten 'by parts'-Formel von oben und dem Ersetzen berechnet werden $\pi$ mit $\pi/2$ in ganzzahligen Grenzen. Man bekommt $\frac{4}{3 \pi}$ Daher endlich

\int_{0}^{A / 2} | F (X, T) |^{2} D X = \frac{1}{2} + \frac{4}{3 π} \cos \frac{3 π^{2} H T}{2 M A}

$\int_0^{a/2} |f(x,t)|^2 dx = \frac{1}{2}+\frac{4}{3 \pi} \cos{\frac{3\pi^2 h t}{2ma}}$

Als $\frac{4}{3 \pi} < \frac{1}{2}$ das Ergebnis macht Sinn. Da sich der Körper in einer Mischung aus zwei Zuständen befindet, ist die Wahrscheinlichkeit nicht mehr zeitlich konstant.

Entschuldigung, dass ich so lange gebraucht habe, um mich bei Ihnen zu melden. Das ist äußerst nützlich, aber ich mache mir nur Sorgen darüber, warum wir die komplexen Konjugierten ignorieren können, da sie sicherlich immer noch einen Imaginärteil haben?
Komplexe Konjugierte spielen für reelle Zahlen keine Rolle, und alles, was in Ihrem Problem komplex ist, ist die Zeitabhängigkeit. Daher habe ich alles in S(t) gesammelt. Im zweiten Teil der Antwort habe ich sie verwendet, um die Anmeldung zu ändern $(-1^2+2^2)$ Und $(-2^2+1^2)$

yoBS · Answer 2

@Nicks Antwort ist richtig, aber überflüssig.

Ein Zustand muss nicht von vornherein normalisiert oder durch die Eigenzustände repräsentiert werden, um seine Norm zu erhalten.

Die Zeitentwicklung ist eine einheitliche Transformation (in der Tat, weil der Hamilton-Operator hermitesch ist). Daher bleibt die Norm eines Zustands, jedes Zustands, mit der Zeit erhalten. Dies wird hier ausführlich erklärt .

Nikolaj-K · Answer 3

Wenn dein $\Phi_n(x,t)$ sind schon die Energieeigenzustände, dann sind sie orthogonal und wenn also " die normierte Wellenfunktion in einer Dimension sei " bedeutet, dass Sie sie bereits normiert haben $f(x)$ bei $t=0$ ist normalisiert.

Für spätere Zeiten haben Sie

Φ_{N} (X, T) = e^{- ich E_{N} T} Φ_{N} (X, 0) = \exp (- ich H T) Φ_{N} (X, 0) = U (T) Φ_{N} (X, 0)

$\Phi_n(x,t)=e^{-iE_nt}\Phi_n(x,0)=\exp({-iHt})\Phi_n(x,0)=U(t)\Phi_n(x,0)$ und so

Φ (X, T) = C_{1} Φ_{1} (X, T) + C_{2} Φ_{2} (X, T) = U (T) (C_{1} Φ_{1} (X, 0) + C_{2} Φ_{2} (X, 0)) = U (T) F (X) .

$\Phi(x,t)=c_1\Phi_1(x,t)+c_2\Phi_2(x,t)=U(t)(c_1\Phi_1(x,0)+c_2\Phi_2(x,0))=U(t)f(x).$ Seit

U (t)

$U(t)$ einheitlich ist, bleibt der Staat normalisiert.

Sie haben uns den Hamiltonian nicht gegeben, um zu sehen, ob dies der Fall ist $\Phi_n$ eigentlich die Eigenzustände sind, aber der Punkt ist, dass, wenn sie es sind, die Zustände orthogonal sind, weil der Hamilton-Operator hermitesch ist und folglich die Mischungsterme Null sind.

Die Integration (zur Normierung, Überprüfung der Orthogonalität sowie zum Auffinden des Teilchens in einem endlichen Intervall) ist ein rein mathematisches Problem.

edit: Okay, los geht's

http://img15.imageshack.us/img15/6774/bild3nl.png

Dieser Ausdruck ist der einzige $x$ -abhängiger Teil und ist für alle ganzen Zahlen Null $n\ne m$ .

Sie können auch "Integrate[Sin[\pi x/a]Sin[2\pi x/a],{x,0,a}]" in Wolfram Alpha stecken.

Entschuldigung, dass ich so lange gebraucht habe, um mich bei Ihnen zu melden. Das ist hilfreich, danke, ich bin am Ende dort angekommen!

Eindimensionale Schrödinger-Gleichung Gleichung mit Anfangsbedingung, Bestimmung der Wahrscheinlichkeit der zukünftigen Position des Teilchens

Freimann

David z

Antworten (3)

Endstation

Freimann

Endstation

yoBS

Nikolaj-K

Freimann

Einführendes Quantum, Probleme mit dieser Randbedingung und diesem Potenzial

Erwartungswert des Hamiltonoperators?

Wie beweist man dp/dt = -dV/dx? Quantenmechanik [geschlossen]

Wie bestimmt man die Wellenfunktion für ein freies Teilchen in einer komplexen Potentialfunktion?

Wie finden wir die Anzahl der beschränkten Zustände in diesem Potential?

Finden der Gesamtwellenfunktion bei allen ttt mit einer gegebenen Anfangswellenfunktion bei t = 0t = 0t = 0 [geschlossen]

2D isotroper harmonischer Quantenoszillator: Polarkoordinaten

Frage zum Beweis von: Damit variabel trennbare Lösungen der Schrödinger-Gleichung normalisierbar sind, muss die Trennkonstante reell sein

Wellenfunktion eines Teilchens im Gravitationsfeld

Endlicher, quadratischer Potentialschacht