Quantenmechanik im elektrischen Feld

Question

Quantenmechanik im elektrischen Feld

Benutzer57568

Betrachten Sie ein geladenes Teilchen mit Ladung $q$ gefangen in einer Kiste der Länge $L$ mit endlich konstantem Potential $V_0$ an beiden Enden. Ein konstantes (statisches) elektrisches Feld der Größenordnung $F$ ab angewendet wird $- \infty$ Zu $+ \infty$ .

Ich habe die gesamte Domain in drei Regionen aufgeteilt

aus $-\infty$ Zu $0$ als Region I
aus $0$ Zu $L$ als Bereich II
aus $L$ Zu $+\infty$ als Bereich III

Gleichungen:

Die Schrödinger-Gleichung für Region II lautet $- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2} ψ}{D X^{2}} + Q F X = E ψ .$ $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + qFx =E\psi \, .$
Die Schrödinger-Gleichung für die Regionen I und III lautet $- \frac{ℏ^{2}}{2 M} \frac{D^{2} ψ}{D X^{2}} + Q F X + v_{0} = E ψ .$ $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + qFx +V_0=E\psi \, .$

Lösungen:

Region I
$ψ (X) = C_{4} Ai [a (v_{0} + F Q X - E_{N})] + C_{5} Bi [a (v_{0} + F Q X - E_{N})]$ $\newcommand{\Ai}{\operatorname{Ai}} \newcommand{\Bi}{\operatorname{Bi}} \psi(x) = c_4 \Ai[\alpha(V_0 + Fqx - E_n)] + c_5 \Bi[\alpha(V_0 + Fqx - E_n)]$
Bereich II
$ψ (X) = C_{1} Ai [a (F Q X - E_{N})] + C_{2} Bi [a (F Q X - E_{N})]$ $\psi(x) = c_1 \Ai[\alpha( Fqx - E_n)] + c_2 \Bi[\alpha(Fqx - E_n)]$
Bereich III
$ψ (X) = C_{3} Ai [a (v_{0} + F Q X - E_{N})]$ $\psi(x) = c_3 \Ai[\alpha( V_0 + Fqx - E_n)]$ (Der $\Bi$ Teil ist ausgeschlossen, weil es weiter explodiert $+\infty$ .)

Wo $c_1 , c_2 , c_3 , c_4 , c_5$ sind Konstanten, $\alpha = \left( 2^{1/3}m /\hbar^2 \right) \left(Fmq / \hbar^2 \right)^{2/3}$ , $\Ai$ Und $\Bi$ sind Airy-Funktionen erster bzw. zweiter Art und $E_n$ sind Energieeigenwerte.

Die Anwendung der Randbedingungen ergibt die folgenden vier Gleichungen:

\begin{aligned} C_{4} Ai [a (v_{0} - E_{N})] + C_{5} Bi [a (v_{0} - E_{N})] & = C_{1} Ai [a (- E_{N})] + C_{2} Bi [a (- E_{N})] \\ C_{4} {Ai}^{'} [a (v_{0} - E_{N})] + C_{5} {Bi}^{'} [a (v_{0} - E_{N})] & = C_{1} {Ai}^{'} [a (- E_{N})] + C_{2} {Bi}^{'} [a (- E_{N})] \\ C_{1} Ai [a (F Q L - E_{N})] + C_{2} Bi [a (F Q L - E_{N})] & = C_{3} Ai [a (v_{0} + F Q L - E_{N})] \\ C_{1} {Ai}^{'} [a (F Q L - E_{N})] + C_{2} {Bi}^{'} [a (F Q L - E_{N})] & = C_{3} {Ai}^{'} [a (v_{0} + F Q L - E_{N})] \end{aligned}

$\begin{align} c_4 \Ai[\alpha(V_0 - E_n)] + c_5 \Bi[\alpha(V_0 - E_n)] &= c_1 \Ai[\alpha( - E_n)] + c_2 \Bi[\alpha(- E_n)]\\ c_4 \Ai'[\alpha(V_0 - E_n)] + c_5 \Bi'[\alpha(V_0 - E_n)] &= c_1 \Ai'[\alpha( - E_n)] + c_2 \Bi'[\alpha(- E_n)]\\ c_1 \Ai[\alpha( FqL - E_n)] + c_2 \Bi[\alpha(FqL - E_n)] &= c_3 \Ai[\alpha( V_0 + FqL - E_n)]\\ c_1 \Ai'[\alpha( FqL - E_n)] + c_2 \Bi'[\alpha(FqL - E_n)] &= c_3 \Ai'[\alpha( V_0 + FqL - E_n)] \end{align}$

Wie berechne ich die gebundenen Zustände $E_n$ aus diesen Gleichungen? Außerdem bin ich daran festgefahren, dass an beiden Enden der Box $\psi$ verhält sich anders als bei trivialen Problemen? Außerdem kann ich Rechensoftware wie MATLAB verwenden, also wenn mir jemand helfen kann, die Rechentechnik zu finden $E_n$ , das ist vollkommen in Ordnung.

Daniel Sank

Ich habe das erste Unendlichkeitssymbol und das hbar-Symbol korrigiert. Bitte schauen Sie sich an, wie ich es gemacht habe, und beheben Sie den Rest. Es ist nicht schwer, mit Google zu suchen, um herauszufinden, wie man Symbole in TeX eingibt.

Urgje

Ich entnehme den Gleichungen, dass Sie ein eindimensionales Problem betrachten. Das erscheint mir nicht realistisch.

Benutzer57568

@Urgje Mein Motiv ist es, den starken Effekt in Quantenpunkten zu untersuchen. Obwohl es untersucht wurde, gibt es eine Bedingung - BDD-Bedingung, die Massendiskontinuitäten über Barrieren hinweg berücksichtigt (die ich hier nicht in die Gleichungen aufgenommen habe, um sie zu vereinfachen, da ich nach der Lösung der Fragen suche), an der nicht gearbeitet wurde im Forschungsbereich. Also habe ich das Modell auf ein eindimensionales Problem vereinfacht und möchte sehen, wie sich BDD auf die Ergebnisse auswirkt. Also ja, das Problem ist nicht realistisch, aber nützlich zu studieren. Und da ich ein Student bin, ist es lösbar (leider ohne Berater).

Urgje

Ich verstehe. Beachten Sie jedoch, dass die spektralen Eigenschaften sehr unterschiedlich sein können. Und was ist BDD? Der Satz erwies sich als nicht googlebar.

Benutzer57568

BDD = Ben Daniel Duke-Zustand

QMechaniker

Crossposting zu math.stackexchange.com/q/991791/11127

Michael Seifert

Beachten Sie, dass die Terme in der Schrödinger-Gleichung, die sich aus dem elektrischen Feld ergeben, sein sollten

(q F x + V_{0}) ψ

$(q F x + V_0) \psi$ , nicht

q F x + V_{0}

$q F x + V_0$ . (Mit anderen Worten,

V ψ

$V \psi$ , nicht nur

V

$V$ .) Ich glaube aber, dass Ihre Versuchslösungen richtig sind.

Antworten (3)

Quantenmechanik im elektrischen Feld

Ich habe das erste Unendlichkeitssymbol und das hbar-Symbol korrigiert. Bitte schauen Sie sich an, wie ich es gemacht habe, und beheben Sie den Rest. Es ist nicht schwer, mit Google zu suchen, um herauszufinden, wie man Symbole in TeX eingibt.
Ich entnehme den Gleichungen, dass Sie ein eindimensionales Problem betrachten. Das erscheint mir nicht realistisch.
@Urgje Mein Motiv ist es, den starken Effekt in Quantenpunkten zu untersuchen. Obwohl es untersucht wurde, gibt es eine Bedingung - BDD-Bedingung, die Massendiskontinuitäten über Barrieren hinweg berücksichtigt (die ich hier nicht in die Gleichungen aufgenommen habe, um sie zu vereinfachen, da ich nach der Lösung der Fragen suche), an der nicht gearbeitet wurde im Forschungsbereich. Also habe ich das Modell auf ein eindimensionales Problem vereinfacht und möchte sehen, wie sich BDD auf die Ergebnisse auswirkt. Also ja, das Problem ist nicht realistisch, aber nützlich zu studieren. Und da ich ein Student bin, ist es lösbar (leider ohne Berater).
Ich verstehe. Beachten Sie jedoch, dass die spektralen Eigenschaften sehr unterschiedlich sein können. Und was ist BDD? Der Satz erwies sich als nicht googlebar.
Beachten Sie, dass die Terme in der Schrödinger-Gleichung, die sich aus dem elektrischen Feld ergeben, sein sollten $(q F x + V_0) \psi$ , nicht $q F x + V_0$ . (Mit anderen Worten, $V \psi$ , nicht nur $V$ .) Ich glaube aber, dass Ihre Versuchslösungen richtig sind.

Ruslan · Answer 1

Erstens, da das Potential von unten auf der linken Seite unbegrenzt ist, hat das Teilchen ein kontinuierliches Spektrum. Das bedeutet, dass Sie nur noch die Koeffizienten berechnen müssen $c_i$ , nehmen $E$ (real, niemals komplex!) als Eingabeparameter.

Einer dieser Koeffizienten, $c_3$ , ist tatsächlich willkürlich, weil es nur die Normalisierung beeinflusst, nicht die Glätte der Wellenfunktion. Um die Verbindungskoeffizienten zu berechnen, müssen Sie also finden $c_1,c_2,c_4,c_5$ .

Und schließlich ist Ihre Gleichung ein einfaches System von $4$ algebraische Gleichungen mit $4$ Unbekannte. Wenn ich nehme $c_3=1$ und benutze willkürliche Buchstaben, um all diese Airy-Funktionen und ihre Ableitungen zu bezeichnen, verstehe ich

{\begin{aligned} C_{4} A + C_{5} B & = C_{1} C + C_{2} D, \\ C_{4} G + C_{5} H & = C_{1} ICH + C_{2} J, \\ C_{1} K + C_{2} L & = M, \\ C_{1} N + C_{2} Ö & = P . \end{aligned}

$\left\{\begin{align} c_4A+c_5B&=c_1C+c_2D,\\ c_4G+c_5H&=c_1I+c_2J,\\ c_1K+c_2L&=M,\\ c_1N+c_2O&=P. \end{align}\right.$

Löse es für $c_i$ und Sie haben fast Ihr gesamtes Problem gelöst. Wenn Sie nun normalisierte Wellenfunktionen benötigen, müssen Sie ein Schema zur Normalisierung unbeschränkter Zustände verwenden, zB die sogenannte "Normalisierung durch Dirac-Delta", die zB in [1] diskutiert wird.

Verweise:

LD Landau & EM Lifshitz, Quantenmechanik. Nicht-relativistische Theorie , $\S5$ .

Wladimir Kalitwjanski · Answer 2

Wladimir Kalitwjanski

Es ist ein transzendentales Gleichungssystem, in dem $E_n$ ist unbekannte komplexe Zahl(en). Es soll numerisch gelöst werden. Wenn Ihr Potenzial gut ist ziemlich tief, können Sie real finden $E_n$ im unendlichen Brunnen und verwenden sie als anfängliche Annäherungen für numerische Iterationen im realen Fall.

David z

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Ruslan

@DavidZ Schade, dass MathJax dort nicht zu arbeiten scheint ...

David z

@Ruslan benutze das

xaxa

Warum wird das herabgestuft? Das ist genau richtig. Das Potential ist an einem Ende unbeschränkt, es gibt also keine gebundenen Zustände (entsprechend realen Energien). Wenn jedoch das Potenzial

V_{0}

$V_0$ tief genug ist, können Energien vorhanden sein

E_{n} - i Γ_{n} / 2

$E_n-i\Gamma_n/2$ , wenn auch komplex, aber quasi-stationäre "Zustände" beschreibend, die langsam aus dem Bohrloch "verdampfen".

Γ

$\Gamma$ würde einer mittleren Lebensdauer entsprechen

τ

$\tau$ eines solchen Staates wie

τ = ℏ / Γ

$\tau=\hbar/\Gamma$

Ruslan

@xaxa Nach allem, was ich über hermitische Operatoren weiß, können komplexe Energien keine Eigenwerte eines Hamilton-Operators sein (es sei denn, es ist nicht hermitesch). Meinen Sie damit, dass diese Energien in einem speziellen Sinne existieren, der keine Eigenlösung ist? Ich war es, der diese Antwort abgelehnt hat, vielleicht zu Unrecht aufgrund meiner Unwissenheit. Aber ich verstehe immer noch nicht ganz, warum es richtig sein sollte.

xaxa

@Ruslan In der Tat sind Eigenwerte eines hermitischen Operators real. Das betreffende Potenzial geht jedoch zu

- \infty

$-\infty$ Es gibt also keine gebundenen Zustände, daher ist die ursprüngliche Aufgabe des OP unlösbar. Am nächsten kommt man, wenn man sogenannte quasi-gebundene Zustände findet. Physikalisch entsprechen sie einem Teilchen, das für eine beträchtliche Zeit im Potentialtopf "gefangen" ist, wenn destruktive Interferenz es daran hindert, zu entkommen. Es gibt also spezifische, komplexwertige "Energien"

E_{n} - i Γ_{n} / 2

$E_n - i\Gamma_n/2$ , wobei der Realteil der Energie dieses quasi gebundenen Zustands entspricht und

Γ

$\Gamma$ ist umgekehrt proportional zur Lebensdauer.

Ruslan

@xaxa aber wie werden diese "Zustände" definiert? Offensichtlich können sie keine Lösungen der Schrödinger-Gleichung sein, die Randbedingungen erfüllen – andernfalls wären sie per Definition Eigenzustände. Aber welche Gleichungen lösen sie dann?

xaxa

@Ruslan sie werden über eine "strahlungsähnliche" asymptotische Bedingung definiert - auf der unbegrenzten Seite des Potentials sollte es nur eine ausgehende Welle geben. Zum Beispiel, wenn das Potenzial

U (x) \to - \infty

$U(x) \to -\infty$ als

x \to - \infty

$x\to -\infty$ dann ist die Bedingung

ψ (x) \sim \exp (- i k x)

$\psi(x) \sim \exp(-ikx)$ (ohne das

\exp (i k x)

$\exp(ikx)$ Teil!).

Ruslan

@xaxa, aber Ihre Bedingung kann keine asymptotische Lösung der Schrödinger-Gleichung sein: Die Wellenzahl muss unbegrenzt wachsen, wenn sich die Funktion erstreckt

x \to - \infty

$x\to-\infty$ aufgrund der Unbegrenztheit des Potentials (vgl. Airy-Funktion).

xaxa

@Ruslan du hast recht, ich hätte aufmerksamer sein sollen ... Tatsächlich bin ich verwirrt darüber, wie ich das mit unendlichem Potenzial wie diesem zum Laufen bringen soll, da es keine "freien Partikel" -ähnlichen Lösungen unterstützt. Meine Vermutung ist anzunehmen, dass Airy-Funktionen in diesem Fall die Rolle freier Teilchen spielen, also asymptotische Bedingung an

x \to - \infty

$x\to -\infty$ sollte sein

ψ (x) \sim \exp (- i q x^{3 / 2}) / x^{1 / 4}

$\psi(x) \sim \exp(-iqx^{3/2})/x^{1/4}$ . Aber das ist vielleicht nicht richtig und bedarf einer genaueren Untersuchung, da der immerwährende, abnehmende Schwanz des Potentials das Ergebnis auf nicht offensichtliche Weise beeinflussen kann.

Garyp

Das OP könnte eine weitere Vereinfachung/Annäherung hinzufügen, indem es seinen Modellquantenpunkt mit unendlichen Wänden außerhalb seines Interessenbereichs begrenzt.

Hare Krishna · Answer 3

Beide Enden der Box ψ verhalten sich anders als bei trivialen Problemen, dies ist wahr, weil das Potential an einem Ende der Box nicht dasselbe ist wie das Potential am anderen Ende, weil es konstante elektrische Felder von -unendlich bis +unendlich gibt , und elektrische Felder fließen von höherem zu niedrigerem Potential. Also ist es in Ordnung.

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