Warum ist ei(kx−ωt)ei(kx−ωt)e^{i(kx − \omega t)} eine gültige Wellenfunktion, da sie auf RR\Bbb R nicht endlich integrierbar ist?

Ich glaube, Sie haben Ihre Frage mit dem im Bearbeitungsteil gemachten Punkt beantwortet!

Wie es ziemlich oft der Fall ist, verwenden wir etwas Formlosigkeit – auch wenn es auf den ersten Blick keinen Sinn ergibt – um zu erraten, was die Lösung sein sollte, in diesem Fall die ebene Welle. Dann sehen wir weiter, wie es behoben werden kann. In der Regel bedeutet dies leider nicht selten, dass man in der Abstraktionsebene noch ein oder zwei Stufen höher geht. In diesem Fall können Sie entweder zu Verteilungen wechseln, bei denen die Schrödinger-Gleichung "angehoben" wird, um mit ihnen zu arbeiten; oder verwenden Sie die inverse Fourier-Transformation, um die Lösung als Funktion zu erhalten, allerdings auf Kosten einer Funktion, die nicht unbedingt an jedem Punkt definiert oder im herkömmlichen Sinne differenzierbar ist. (Ich werde gerne einige Referenzen weiterleiten, wenn Sie daran interessiert sind oder eine strengere mathematische Behandlung benötigen.)

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass, selbst wenn wir uns etwas so vorstellen wollen, wie wir glauben, dass es sein sollte, die Essenz davon wirklich nur die Art und Weise ist, wie es verwendet wird und wie es mit anderen Dingen in unseren Gleichungen interagiert ("... wenn es geht wie eine Ente und redet wie eine Ente..."). Daher ist Ihre Bearbeitung der springende Punkt.

Also zunächst einmal die Interpretation von$|\Psi(\mathbf{r})|^2$als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion kam nach der Entwicklung der Wellenmechanik durch Schrödinger. Die Frage, die Schrödinger zu beantworten versuchte, lautet: Wie lautet die von de Broglie postulierte/entwickelte Wellengleichung für die Teilchenwelle?

In meiner ersten (formellen) Einführung in die Quantenmechanik hat mein Professor es so ausgedrückt: Wellenmechanik ist für die klassische Mechanik, was Wellenoptik für Strahlenoptik ist. Denn das ist die Idee, mit der Schrödinger vom Hamilton-Jacobi-Formalismus zu seiner berühmten Schrödinger-Gleichung kam.

Das erste, was zu beachten ist, ist die ebene Welle$\mathbf{is}$tatsächlich eine Lösung der Schrödinger-Gleichung. Die Frage ist, wie interpretieren wir diese Lösung? Vergleichen Sie es beispielsweise mit dem niedrigsten Energiezustand des Wasserstoffatoms. Es mag heutzutage jedem natürlich und intuitiv erscheinen, was die Interpretation einer quadratisch integrierbaren Funktion ist, die einen gebundenen Zustand beschreibt, aber das war definitiv nicht immer der Fall.

Erst nach Borns Annahme, dass der quadratische Betrag der Wellenfunktion als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Ortes des Teilchens zu interpretieren ist, können wir eine solche Lösung der Schrödinger-Gleichung nachvollziehen.

Um zu verstehen, was die Lösung für ebene Wellen in der QM ist, machen Sie vielleicht einen Schritt zurück zur Wellenoptik. Die ebene Welle ist auch eine Lösung der EM-Wellengleichung. Es füllt zu jeder Zeit den gesamten Raum aus. Was ist da die physikalische Deutung? Nun, wir finden das aufgrund der Linearität der (em) Wellengleichung und der Tatsache, dass die Sammlung ebener Wellen ein vollständiger orthogonaler Satz von ist$L^2(\mathbb{R^3})$, können wir jede mögliche Lösung als Überlagerung ebener Wellen schreiben (auch bekannt als Fourier-Transformation). Und das gilt auch für Lösungen der Schrödinger-Gleichung.

Um die Wahrscheinlichkeitsinterpretation von zu speichern$|\Psi(\mathbf{r})|^2$, können wir es folgendermaßen betrachten: Definieren Sie die Dichte$\rho(\mathbf{r}) = |\Psi(\mathbf{r})|^2$und die Stromdichte$\mathbf{j}(\mathbf{r}) = \frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^*\nabla \Psi - \Psi\nabla\Psi^* \right)$. Dann erfüllen diese beiden Größen eine Kontinuitätsgleichung:

Sie können also die ebene Wellenlösung (oder Überlagerungen mehrerer ebener Wellen) als Wahrscheinlichkeitsfluss interpretieren. Das macht meiner Meinung nach für nicht gebundene Lösungen der Schrödinger-Gleichung, wie z. B. die ebene Welle, durchaus Sinn. Für gebundene Zustände haben wir Born (wo es natürlich sinnvoll ist, zu verlangen$\Psi \in L^2(\mathbb{R}^3)$, um Wahrscheinlichkeiten zu haben, die durch 0 und 1 gebunden sind), und für eine nicht gebundene Lösung haben wir diese Interpretation. Dieses ganze Thema nennt man "Streutheorie", wo Sie den Strom einfallender Teilchen als ebene Welle beschreiben.

Es hängt davon ab, was Sie unter einer "gültigen" Wellenfunktion verstehen.$e^{i(kx - \omega t)}$repräsentiert 'kein' irgendein physikalisches System, also spielt es keine Rolle, ob es normalisierbar ist oder nicht.

Aber warum diskutieren dann die meisten Lehrbücher das?

Weil es die Shroedinger-Gleichung für ein System mit bestimmtem Impuls erfüllt$(p = \hbar k)$, das ein freies Teilchen darstellt (das im wirklichen Leben nicht existiert).