Normalisierung der Wellenfunktion freier Teilchen

Die Wellenfunktion:

ist eine unendliche ebene Welle. Es beschreibt also ein Teilchen, das sowohl zeitlich als auch räumlich eine unendliche Ausdehnung hat. Das heißt, es existiert für$-\infty \le x \le \infty$und für$-\infty \le t \le \infty$. Wenn das Teilchen eine unendliche Ausdehnung hat, ist es nicht überraschend, dass seine Amplitude überall Null ist und die Normalisierung eine Multiplikation erfordert$\infty$durch Null, was bedeutungslos ist. Dies ist eine mathematische Idealisierung, kein Versuch, ein reales Teilchen zu beschreiben, und Sie haben völlig Recht, dass das durch die Gleichung beschriebene Teilchen in der Natur nicht existiert.

In Wirklichkeit hat das Teilchen eine endliche Lebensdauer und kann während dieser Lebensdauer eine endliche Entfernung zurücklegen. Bei vielen Experimenten, beispielsweise der Streuung, ist es uns jedoch egal, woher das Teilchen ursprünglich kam oder wohin es schließlich geht, und es ist eine bequeme Annäherung, es als eine unendliche ebene Welle zu beschreiben.

Diese Wellenfunktion ist nicht normierbar. Heißt das, dass freie Teilchen in der Natur nicht vorkommen?

Nein, tut es nicht; es bedeutet, dass es nicht gültig ist$\psi$Funktion, die in einer Theorie verwendet werden soll, die auf der Born-Interpretation von basiert$|\psi(x)|^2|$als Wahrscheinlichkeitsdichte für Konfiguration$x$.

Sie haben Recht, es gibt keine freien Teilchen in der Natur, aber der Grund dafür ist, dass die Dinge in der Natur mit ihren Nachbarn interagieren, und wir kennen keine Möglichkeit, einen Teil der Welt zu isolieren, um dies vollständig zu verhindern. Was wir tun können, ist Interaktionen zu minimieren, aber es bleibt immer etwas übrig.

Warum verwenden wir dann freie Teilchen?$\psi(\vec{x}) = e^{ikz}$, zum Beispiel in der Streutheorie?

Es ist viel einfacher, mit solchen Funktionen zu rechnen, und es können einige nützliche Ergebnisse damit erzielt werden.