Wer macht die Normalisierung der Wellenfunktion in der Zeitentwicklung der Wellenfunktion?

Niemand "macht die Normalisierung".

Eine Normalisierung ist nicht einmal notwendig. Wir normalisieren oft aus Bequemlichkeitsgründen , da dies bedeutet, dass die Born-Regel für$\lvert \psi \rangle$Staat sein$\lvert \phi \rangle$liest

$$P(\psi,\phi) = \lvert \langle\psi\vert\phi\rangle \rvert ^2$$

das ist sicherlich einfacher zu erinnern/schreiben als

$$P(\psi,\phi) = \frac{\lvert \langle\psi\vert\phi\rangle \rvert ^2}{\lvert \langle\phi\vert\phi\rangle \rvert \lvert \langle\psi\vert\psi\rangle \rvert }$$

aber nichts im Formalismus erzwingt eine Normalisierung. Das Grundprinzip besagt, dass Zustände Strahlen im Hilbertraum sind , also$\lvert \psi \rangle$Und$c\lvert \psi \rangle$repräsentieren für alle den gleichen Zustand$c \in \mathbb{C}$, und sind für alle Zwecke voll gleichwertige Vertreter desselben Staates . (Das bedeutet übrigens, dass wir, wenn wir einen Raum wollen, in dem jedes Element einem bestimmten Quantenzustand entspricht, stattdessen den projektiven Hilbert-Raum betrachten sollten.)

Vermuten$\psi$erfüllt die (dimensionslose) zeitabhängige Schrödinger-Gleichung:

$$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi.$$ Es wird auch die konjugierte Gleichung erfüllen: $$-i\frac{\partial\psi^*}{\partial t}=-\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+V(x)\psi^*$$ Betrachten Sie nun, wie sich die Normalisierung im Laufe der Zeit ändert: $$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\int\psi^*\psi dx &= \int\left(\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\psi^*\right)dx \\ &= \int\left(\psi\frac{1}{-i}\left(-\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+V(x)\psi^*\right)+\psi^*\frac{1}{i}\left(-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+V(x)\psi\right)\right)dx\\ &=0 \end{align}$$ Im letzten Schritt verwenden wir die partielle Integration unter der Annahme, dass am Rand unseres Integrationsbereichs alles gegen Null geht. (Oder verwenden Sie die Tatsache, dass der Impulsoperator hermitesch ist.)

Wenn Sie also mit einer normalisierten Wellenfunktion beginnen, bleibt sie normalisiert.

Die Antwort auf Ihre Frage lautet: Schrödinger.

Ich denke, es ist eine sehr gute Frage. Als Sonderfall zum Beispiel für die$\psi$eines Teilchens sagen wir so$\int||\psi_t(x)|| = 1$, und was bedeutet das? es bedeutet, dass wir ein Teilchen haben. es bedeutet, dass es in einer Zeit in einem Raum gefunden werden kann. und wie sagen wir das?

Ich denke, es ist nur eine logische Überlegung, und es entspricht dem, was wir von Anfang an bis heute an der Natur festgehalten haben: Wenn wir ein Teilchen haben, ist es in einer Raumzeit (muss SEIN). Die Wahrscheinlichkeit, es in allen Räumen und Zeiten zu finden (Universum, in dem wir experimentieren), sollte also gleich 1 sein.