Warum erscheint das n=3n=3n=3 Energieniveau von quantenmechanischen Potentialtöpfen "auf dem Kopf"?

Mein QM-Lehrbuch zeigt Zahlen wie diese für die unendlichen und endlichen Potentialtöpfe:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die gerade Lösung für den endlichen Brunnen (angewandt auf die untere und obere Kurve in der Abbildung rechts) ist gegeben als

ϕ e v e N ( X ) = { A e Q X X < − A D cos ⁡ ( k X ) − A ≤ X ≤ A A e − Q X X > A

Wo − A Und A sind die Boxgrenzen (wobei der Brunnen auf Null zentriert ist). Die Details der Konstanten k Und Q sind für meine Frage irrelevant.

Was ich mich frage, ist, warum die n = 3-Kurve in der Domäne scheinbar auf dem Kopf steht − A ≤ X ≤ A ? Die obere Kurve in der Abbildung ( N = 3 ) impliziert, dass D < 0 , aber die untere Kurve ( N = 1 ) impliziert, dass D > 0 ...

Und selbst wenn diese Meinungsverschiedenheiten irgendwie beigelegt würden, würden Sie am Ende genau das gleiche Problem außerhalb der Grenzen des Brunnens mit einer Meinungsverschiedenheit im Normalisierungsparameter haben A .

Ich verstehe, dass nichts davon einen Unterschied zu tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten macht, da sie von der Dichtefunktion gefunden werden | ψ ( X ) | 2 . Aber das wird trotzdem nicht gehen. Sind die Zahlen etwas informell gezeichnet oder fehlen mir mathematische Details?

Konzentriere dich auf den unendlichen Brunnen. Siehe die n=1,3,5,7,9 Lösungen in der Mitte des Brunnens, x=0.
@CosmasZachos Ich sehe dort genau das gleiche Problem. Die geraden Lösungen für den unendlichen Brunnen sind ϕ N ( X ) = 2 2 A cos ⁡ N π X 2 A . Die Normalisierungskonstante ist hier positiv, aber darum geht es nicht N = 3 Wellenfunktion zeigt.
Warum ist ein alternierendes D ein "Problem"? Welcher Teil Ihrer Lösung diktierte ihr Vorzeichen?
@CosmasZachos Kein Teil der Lösung diktierte das Zeichen. Aber eine Zahl muss positiv oder negativ sein. Mir gefiel einfach die Mehrdeutigkeit nicht.

Antworten (2)

Unterschiedliche Energieniveaus haben unterschiedliche Werte von A Und D . Bei der zweiten geraden Lösung unterscheidet sich das relative Vorzeichen von der ersten.

Mein Buch scheint zu implizieren, dass sich die Normalisierungskonstanten nicht pro Energieniveau ändern? Im Fall des unendlichen Brunnens die Konstante A ausdrücklich als immer bezeichnet wird 2 / 2 A . Und auch beim unendlichen sehe ich das gleiche Problem bei dem N = 3 Kurve
@jphollowed Die Situation ist für den unendlichen Brunnen anders; In diesem Fall A ist für jedes Energieniveau gleich. Sie können jedoch immer ersetzen A mit A e ich θ und erhalten den gleichen Zustand, also haben sie sich für den dritten Eigenzustand entschieden, mit zu zeichnen A Negativ.
Im endlichen Gut beides A Und D ändern. Durch Ändern der Gesamtzeichen können Sie immer erhalten D positiv, wenn Sie wollen. Beides bekommt man aber nicht A Und D immer positiv, weil die Werte von A / D unterscheiden sich wirklich zwischen den verschiedenen Staaten.
Die eigentliche Antwort auf meine Frage ist also das, was mein Prof wiederholt hat. Die Gesamtphase eines Zustands oder einer Wellenfunktion spielt keine Rolle, da dies das absolute Quadrat betreffen muss, das wir für Wahrscheinlichkeiten verwenden. Solange relative Phasen zwischen Zuständen erhalten bleiben

Beachten Sie, dass Sie die Wellenfunktion so ausgedrückt haben, als ob der Brunnen abläuft [ − L / 2 , L / 2 ] , aber es wird oft formal in einem Satz von Koordinaten gelöst, von wo aus der Brunnen verläuft [ 0 , L ] .

Der "natürliche" Ausdruck der Lösung hängt davon ab, wie Sie die Domäne bezeichnen. Im letzteren Fall sind alle Lösungen Sinus für die unendlichen Brunnen (und könnten in tiefen endlichen Brunnen vernünftigerweise als "sinusartig" bezeichnet werden), sodass Sie erwarten würden, dass sie am linken Rand ansteigen.

Aber es könnte ein negativer Sinus sein, und das ist meiner Meinung nach die Art der Frage.
Gut ja. Aber wie das OP habe ich Vorlieben in Bezug darauf, wie ich die Dinge einrichte. Er sagt : "Wenn die Lösung in Kosinus geschrieben ist, erwarte ich, dass sie bei Null positiv ist, wenn es keinen objektiven Grund gibt, es anders zu machen . " Das ist natürlich eine rein ästhetische Sache, aber ein überraschend großer Teil der Menschen würde die gleiche Wahl treffen. Was ich hier sagen möchte, ist, dass es eine andere Ästhetik gibt, die gilt, wenn Sie die Domain anders bezeichnen. Und die meisten elementaren Behandlungen, die ich sehe, verwenden die [ 0 , L ] Domänenkennzeichnung. Sie können das Schild auch an beiden Enden befestigen und das zwingt Ihre Hand.
@dmckee Wenn dies alles zur Antwort ist, ist es dann richtig zu sagen, dass die Figur einfach etwas lässig gezeichnet ist? In der Tat haben Sie Recht, dass Sie die Domain verwenden [ 0 , L ] und die Lösung als Sinuskurven auszudrücken, beseitigt das Problem, das ich aufwerfe. Mein Buch hat diesen Bereich für den unendlichen Brunnen verwendet und gewechselt, als es den endlichen Brunnen angesprochen hat (der Einfachheit halber). Aber selbst wenn sie den unendlichen Brunnen unter diesem neuen Bereich neu auflösen, stimmt die Lösung nicht vollständig mit der Zahl überein
@jphollowed Ehrlich gesagt denke ich, dass Sie Ihrem inneren Perfektionisten etwas mehr Führung geben, als eine gute Idee ist. Ich kenne sicherlich das Gefühl – meiner ist ziemlich aufdringlich – aber das ist nicht viel Ihrer Zeit wert. Eine schiefe handgezeichnete Skizze reicht aus, um das interessante Merkmal des Problems und seine Lösungen aufzuzeigen, also sind diese gut genug. Sicher, nennen Sie sie lässig, wenn Sie möchten.
@dmckee Du hast Recht. Ich verstehe die Physik und die Mathematik sowieso. Danke Kumpel
Warum erscheint das n=3n=3n=3 Energieniveau von quantenmechanischen Potentialtöpfen "auf dem Kopf"?
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