Das Delta-Funktionspotential

Question

Das Delta-Funktionspotential

Logan

Ich lese Griffiths Intro to QM 2nd Ed durch. und wenn es um gebundene/streuende Zustände (2.5) geht, sagen sie:

$E<0 \implies$ gebundener Zustand

$E>0 \implies$ streuender Zustand

Warum ändert sich dies nicht, je nachdem, ob Sie ein positives oder negatives Deltafunktionspotential haben?

sicher

Dies wird durch das Verhalten im Unendlichen bestimmt. Für einen streuenden Zustand in 1d den stationären Zustand mit Energie

E

$E$ geht wie

\exp (\pm i k x)

$\exp(\pm i kx)$ mit

E = ℏ^{2} k^{2} / 2 m > 0

$E=\hbar^2k^2/2m>0$ während für

E < 0

$E<0$ , es geht wie

\exp (- κ | x |)

$\exp(- \kappa |x|)$ mit

E = - ℏ^{2} κ^{2} / 2 m > 0

$E=-\hbar^2\kappa^2/2m>0$ .

unsym

Zur Verdeutlichung, für den gebundenen Zustand sollte es sein

E < V (\pm \infty)

$E<V(\pm \infty)$ , die in diesem Fall zufällig Null ist.

Antworten (2)

Das Delta-Funktionspotential

Dies wird durch das Verhalten im Unendlichen bestimmt. Für einen streuenden Zustand in 1d den stationären Zustand mit Energie $E$ geht wie $\exp(\pm i kx)$ mit $E=\hbar^2k^2/2m>0$ während für $E<0$ , es geht wie $\exp(- \kappa |x|)$ mit $E=-\hbar^2\kappa^2/2m>0$ .
Zur Verdeutlichung, für den gebundenen Zustand sollte es sein $E<V(\pm \infty)$ , die in diesem Fall zufällig Null ist.

Mateus Sampaio · Answer 1

Diese Definition von gebundenen und streuenden Zuständen ist nicht ganz richtig, obwohl sie für viele Potentiale gilt. Es gibt Gegenbeispiele zu dieser Tatsache, die ihre Wurzeln in einer Arbeit von von Neumann und Wigner haben. Eines ist das sphärische Potential

v (R) = 32 Sünde R \frac{Sünde R - (1 + R) \cos R}{{(2 + 2 R - Sünde 2 R)}^{2}}

$V(r)=32\sin r \frac{\sin r-(1+r)\cos r}{\left(2+2r-\sin 2r\right)^2}$ Es ist nicht schwer, das zu überprüfen

V (r)

$V(r)$ ist eine beschränkte kontinuierliche Funktion, die im Unendlichen verschwindet. Obwohl die Funktion

ψ (X) = \frac{2 Sünde R}{R (2 + 2 R - Sünde 2 R)}

$\psi(x)=\frac{2\sin r}{r\left(2+2r-\sin 2r\right)}$ ist eine Eigenfunktion von

H = - Δ + V

$H=-\Delta + V$ , mit Eigenwert

1 > 0

$1>0$ .

Mathematica-Grafiken

Dies ist also ein Beispiel für einen gebundenen Zustand, für den diese Bedingungen nicht gelten. Die genaue Definition gebundener Zustände ist subtiler und wird durch die Elemente von gegeben

H_{gebunden} (H) = {ψ (X, 0) \in L^{2} (R^{N}) : lim_{R \to \infty} sup_{T \in R} \int_{R^{N} ∖ B (0; R)} | ψ (X, T) |^{2} D X = 0},

$\mathcal{H}_{\text{bound}}(H)=\left\{\psi(x,0) \in L^2(\Bbb{R}^n):\lim_{r\to\infty}\sup_{t\in \Bbb{R}} \int_{\Bbb{R^n}\backslash B(0;r)}|\psi(x,t)|^2dx=0\right\},$ Wo

ψ (x, t) = e^{- i t H} ψ (x, 0)

$\psi(x,t)=e^{-itH}\psi(x,0)$ , das heißt, die Zustände, die für jede Zeit im Raum lokalisiert sind

t

$t$ . Das stimmt immer

H_{bound} (H) \supset H_{p} (H)

$\mathcal{H}_{\text{bound}}(H) \supset \mathcal{H}_{\text{p}}(H)$ , der Abschluss des Satzes von Linearkombinationen von Eigenvektoren von

H

$H$ , und für einige Potentiale gilt die Gleichheit.

Für das Deltafunktionspotential ist die Realisierung eines selbstadjungierten Operators mit den richtigen Eigenschaften nicht so einfach, aber auf einige Arten möglich. Aber wie Griffiths diskutiert, tötet der Wechsel von einem negativen zu einem positiven Deltapotential den gebundenen Zustand, da seine einzige Eigenfunktion nicht mehr normalisierbar ist und alle Zustände Streuzustände sind.

Ist der von Ihnen erwähnte Eigenzustand in ein Kontinuum eingebettet (und damit eine Resonanz? Oder einer Fano-Kopplung zum Kontinuum unterworfen?) Oder beginnt das Kontinuum darüber? Können Sie ganz allgemein einen Verweis auf das Originalpapier oder einen guten Überblick über dieses Potenzial geben?
Danke für das Bild! Es ist eingebettet in das Kontinuumspektrum, das in diesem Fall vorliegt $\sigma_c(H)=[0,\infty)$ . Die Originalarbeit ist von Neumann, John; Wigner, Eugen (1929). „Über merkwürdige diskrete Eigenwerte“. Physikalische Zeitschrift 30: 465–467. Aber für gute Referenzen zu diesen Zuständen siehe: für einen physikalischeren Blick Abschnitt 10.4 von Ballentine's Quantum Mechanics; für einen mathematisch-physikalischen Blick Abschnitt 11.4.2 von de Oliveira's Intermediate Spectral Theory and Quantum Dynamics.

Eric Winkel · Answer 2

Wenn $E < V\left(-\infty\right)$ , $E<V\left(+\infty\right)$ , und $E > V_{min}$ (notwendig für $\Psi$ normalisierbar sein), dann ist es ein gebundener Zustand und das Spektrum wird diskret sein:

Ψ (X, T) = \sum_{N} C_{N} Ψ_{N} (X, T) .

$\Psi\left(x,t\right) = \sum_n c_n \Psi_n\left(x,t\right).$ Sonst – wenn

E > V (- \infty)

$E > V\left(-\infty\right)$ oder

E > V (+ \infty)

$E > V\left(+\infty\right)$ -- es ist ein streuender Zustand, und das Spektrum wird kontinuierlich sein:

Ψ (X, T) = \int D k C (k) Ψ_{k} (X, T) .

$\Psi\left(x,t\right) = \int dk \ c\left(k\right) \Psi_k\left(x,t\right).$

$V\left(\pm \infty\right) = 0$ für beide $V\left(x\right) = +\delta\left(x\right)$ Und $V\left(x\right) = - \delta\left(x\right)$ , So $E$ muss negativ sein, um einen gebundenen Zustand zu haben.

$\min +\delta\left(x\right) = 0$ , also gibt es keine gebundenen Zustände für $V\left(x\right) = +\delta\left(x\right)$ .

$\min -\delta\left(x\right) = -\infty$ , so für $V\left(x\right) = -\delta\left(x\right)$ , $E<0$ für einen gebundenen Zustand und $E > 0$ für einen streuenden Zustand, wie Sie es haben.

BEARBEITEN : Wie @Mateus Sampaio jedoch betonte, gibt es anscheinend Ausnahmen von den oben genannten allgemeinen Regeln.

Dies ist nicht immer der Fall, wie Sie in meiner Antwort sehen können.
Was ist mit der Arbeit von von Neumann und Wigner, in der sie einen gebundenen Zustand zeigten, dessen Energie im Kontinuumsspektrum liegt? en.wikipedia.org/wiki/Bound_state#cite_note-5

Das Delta-Funktionspotential

Logan

sicher

unsym

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