Wann ist es sinnvoll, die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung zu lösen?

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist nur eine Trennung von Variablen, die auf die „wahre“ Schrödinger-Gleichung einwirken. Die Eigenwerte (die Trennungskonstanten) einer solchen Gleichung repräsentieren zufälligerweise die Energie unseres Quantensystems. Wenn unser Interesse ausschließlich an den verfügbaren und zugänglichen Zuständen oder Systemen liegt, ist die zeitunabhängige Version daher gut geeignet. Wenn wir jedoch versuchen, die Zeitentwicklung des Systems zu modellieren, müssen wir den Zeitteil der Schrödinger-Gleichung hervorrufen.

Wenn unsere zeitunabhängige Gleichung normalisierte Lösungen hat$\psi_1(x), \psi_2(x),\dots$, mit$\int_{-\infty}^\infty\psi^*_m(x)\psi_n(x)=\delta_{mn},$dann schreiben wir

Wo$H$ist der Hamiltonoperator und$E_n$sind die entsprechenden Energien.

Die zeitabhängige Gleichung ist

Als solches können wir unseren zeitabhängigen Quantenzustand als Überlagerung der unabhängigen Zustände schreiben:

bei dem die$A_n$sind ein normalisierter Satz von Konstanten,$\sum_n|A_n|^2=1$.

Wenn Sie den zeitunabhängigen Fall lösen können , reicht dies immer aus, da die Zeitentwicklung eines stationären Zustands einfach ist$\psi_n(t)=e^{i\omega t}\psi_n(0)$, und jeder Zustand kann als Überlagerung stationärer Zustände geschrieben werden.

Sie können sicher sein, dass Ihnen nichts entgeht, denn jeder selbstadjungierte Operator$^1$(wie der Hamiltonian) hat eine vollständige orthonormale Basis von Eigenvektoren. Dies wird als Spektraltheorem bezeichnet.

Andererseits ist die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in allen außer den einfachsten Fällen unlösbar, sodass Sie sich in den meisten Fällen auf Näherungen verlassen müssen. Dabei handelt es sich häufig um die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung.

$^1$Hier gibt es einige knifflige Details für einen völlig allgemeinen selbstadjungierten Operator, aber sie machen aus der Sicht eines Physikers keinen wirklichen Unterschied.

Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung ist die Eigenwertgleichung für den Hamilton-Operator, also liefert sie die Zustände mit bestimmtem Hamilton-Operator, die nach der zeitabhängigen Schrödinger -Gleichung dieselben sind wie die der bestimmten Energie, da das Ding auf der rechten Seite ist der Schrödinger-Gleichung ist der Energieoperator. Insbesondere lautet die zeitabhängige Gleichung:

und die zeitunabhängige Gleichung ist

wo jetzt$E$ist eine Konstante, aber vorher war es ein Operator. Der Betreiber$\hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$ist der Generator der zeitlichen Übersetzung in der gleichen Hinsicht wie der Impulsoperator$\hat{p}$ist der Generator der räumlichen Translation (verbunden mit dem berühmten Satz von Noether, dass Energie die Erhaltungsgröße ist, die mit der Symmetrie der zeitlichen Translation verbunden ist, da der Impuls ebenfalls mit der räumlichen Translation verbunden ist. Beachten Sie auch, dass die beiden effektiv die gleiche Form haben - z. B. in einer Dimension$\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$.). Die erste Gleichung sagt Ihnen, dass für eine physikalisch gültige Lösung das Einwirken auf die Wellenfunktion mit dem Hamilton-Operator das gleiche Ergebnis wie der Energieoperator haben wird, und daher wären seine Eigenwerte die gleichen, als ob wir das "legendäre", metaphorische lösen könnten Eigenwertgleichung$\hat{E}\psi = E\psi$(was wir nicht können, weil es Müll ergibt und es keinen Begriff für die Systemstruktur gibt), aber$\hat{H}$baut die Struktur des Systems auf, also ist diese tatsächlich nützlich und hat die gleiche physikalische Bedeutung wie ein Generator der Zeitübersetzung für reale Zustände und damit auch einen Energieoperator - und damit das Lösen der zeitunabhängigen Gleichung, die Sie erhalten können die Energieniveaus und Zustände bestimmter Energie: Energieeigenzustände.

Sobald Sie dies tun, haben Sie jedoch tatsächlich die erste Gleichung effektiv gelöst, da diese eine Basis für den Zustandsraum bilden und Sie daher jede Lösung als (möglicherweise unendliche, möglicherweise sogar ganzzahlige) Linearkombination dieser darstellen können, die die Die erste Gleichung würde sich entwickeln, als ob sich jede Komponente separat entwickelt hätte, und die Entwicklung eines einzelnen Energie-Eigenzustands vorwärts in der Zeit ist trivial (es hat nur eine komplexe Exponentialfunktion in der Zeit vorne).