Verwenden der Trennung von Variablen zum Lösen der Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen

Die Annahme, dass Trennbarkeit und Normalisierbarkeit irgendwie miteinander verbunden sind, ist falsch. Es kann direkt gezeigt werden, dass es falsch ist, weil wir den Trennbarkeitsansatz verwenden können$\hat{H}\vert\psi\rangle=E\vert\psi\rangle$, und erhalten einen vollständigen Lösungssatz und sie stimmen mit unserem Trennbarkeitsansatz überein. Man kann also sagen, dass der Prozesserfolg den Zutatenansatz rechtfertigt.

Kommen wir nun zu Ihrer Kernverwirrung. Ein Energieeigenzustand eines freien Teilchens mit Energie$E$wird von gegeben$e^{-iEt}(Ae^{ikx}+Be^{-ikx})$Wo$E=\frac{k^2}{2m}$. Sie können überprüfen, ob diese Lösung tatsächlich die Schrödinger-Gleichung erfüllt. Dies ist nicht normalisierbar, aber es ist perfekt trennbar.

Abschließend sei angemerkt, dass nicht normierbare Wellenfunktionen tatsächlich kein physikalisches Teilchen/System beschreiben können. Sie sind jedoch nützlich, weil sie als Eigenfunktionen von Orts- und Impulsoperatoren entstehen und eine vollständige Basis für alle normierbaren Wellenfunktionen bilden. Die nicht normierbaren Wellenfunktionen leben also selbst nicht im Hilbert-Raum, aber sie bilden eine Basis für den Hilbert-Raum. Und daher ist das Lösen der Schrödinger-Gleichung in dieser Basis äquivalent zum Lösen für alle Wellenfunktionen.

Beispielsweise ein Gaußsches Wellenpaket der Form$\psi(x,0)=Ae^{-x^2/\Delta}$kann als Linearkombination angesehen werden$\psi(x,0)=\int \frac{dp}{2\pi}\ e^{ipx}\tilde\psi(p)$Wo$\tilde\psi(p)$ist die Fourier-Transformation von$\psi(x,0)$. Jetzt können wir trivial rechnen$\psi(x,t)=\int \frac{dp}{2\pi}\ e^{-ip^2t/2m}e^{ipx}\tilde\psi(p)$. Natürlich habe ich nur als Beispiel die Gaußsche Wellenfunktion erwähnt, die gleichen Formeln und das gleiche Verfahren können für jede anfängliche Wellenfunktion verwendet werden.

Daher ist dies keine gültige Lösung

Die Lösung ist eine mathematisch gültige Lösung, kann aber nicht verwendet werden, um ein Teilchen mit einem bestimmten (x,y,z,t) zu modellieren.

Aber wie ist das möglich, da wir bereits wissen, dass wir die Schrödinger-Gleichung nicht mit der Methode der trennbaren Variablen lösen können?

Wenn man ein anderes verwendet$k$In den Lösungen der ebenen Welle hat man viele ebene Wellen, die verwendet werden können, um ein freies Teilchen mit der Wellenpaketlösung von Wellengleichungen zu modellieren, wodurch dem Impuls des Teilchens die quantenmechanische Unsicherheit gegeben wird.

Dies ist eine nützliche Art, sich die Modellierung freier Teilchen in der Quantenmechanik vorzustellen, aber glücklicherweise wird sie nicht benötigt, wenn ein Potential existiert, mit dem das Teilchen wechselwirkt. Dort ist das Modell eine direkte Lösung der entsprechenden Gleichung mit dem Potential oder die Verwendung von Quantenfeldtheorie und Feynman-Diagrammen, die es ermöglichen, Wechselwirkungen von Teilchen anzupassen und vorherzusagen.

Es ist sicherlich richtig, dass ein generischer Zustandsvektor$\psi_t$kann nicht in das Formular geschrieben werden$\psi_t = f(t)\phi$für irgendeinen Vektor$\phi$im Hilbertraum. In$2$Dimensionen zum Beispiel könnte man etwas von der Form haben$\psi_t = \pmatrix{e^{i\omega t}\\ e^{-i\omega t}}$, die nicht als zeitabhängige Skalarfunktion geschrieben werden kann, die einen konstanten Vektor multipliziert.

Allerdings, wenn Sie eine feste Basis wählen$\{\phi_n\}$, dann kann jeder Vektor als Linearkombination ausgedrückt werden$\sum_n c_n \phi_n$. Insbesondere kann der Zustandsvektor zu jedem Zeitpunkt auf diese Weise ausgedrückt werden, wobei sich die Koeffizienten von Moment zu Moment ändern. Als Ergebnis kann die Tatsache, dass der zeitabhängige Zustandsvektor ausgedrückt werden kann als$\psi_t = \sum_n c_n(t) \phi_n$ist eine im Wesentlichen triviale Aussage - schließlich ist die$\phi_n$'s sind eine Basis für jeden$t$- und Trennbarkeit, wie Sie sie definieren, wird kein Thema mehr. Auswahl der Basis$\{\phi_n\}$Eigenwerte des Hamilton-Operators zu sein, macht das Lösen der Schrödinger-Gleichung ähnlich trivial und nachgiebig$c_n(t) = c_n(0) e^{-iE_n t/\hbar}$.

Wenn das Spektrum des Hamilton-Operators diskret ist, dann existiert garantiert eine orthonormale Basis von Energie-Eigenvektoren, und somit ist das oben erwähnte Verfahren vollkommen wohldefiniert. Wenn das Spektrum jedoch kontinuierlich ist , gilt dies nicht mehr, wie in diesem Fall$H$ hat keine Eigenvektoren. In unserem Einführungskurs lernen wir, dass es Funktionen gibt, wenn wir die Anforderungen der Normalisierbarkeit vergessen$\phi_k$die sich etwas wie Eigenvektoren verhalten ; außerdem können wir echte, normierbare Zustände als integrale Superpositionen entwickeln

$$\psi_t = \int c_k(t) \phi_k\mathrm dk$$

Dieses Verfahren funktioniert zwar ganz gut, aber man kann sich fragen, wie wir es rechtfertigen können. Es gibt im Wesentlichen zwei rigorose Wege, die man einschlagen könnte – einen von John von Neumann und den anderen von Israel Gelfand. Gelfands Ansatz ist eine Formalisierung von Diracs heuristischem Verfahren, aber eine technisch detaillierte Diskussion davon erfordert die Entwicklung eines ziemlich großen zusätzlichen Maschinenkörpers über den Hilbert-Raum hinaus; Infolgedessen konzentriere ich mich hier darauf, das Verfahren des "verallgemeinerten Eigenvektors" durch die technisch einfachere Linse von von Neumann zu rechtfertigen.

---

bei diesem Ansatz$^{1}$, nehmen wir als unseren Hilbert-Raum$\mathscr H := L^2(\mathbb R)$. Unser Hamiltonian$H$mit Domäne$\mathrm{dom}(H)$wird von gegeben

$$\mathrm{dom}(H):= \{\psi\in L^2(\mathbb R) \ : \ \psi \text{ is twice weakly-differentiable and }\psi''\in L^2(\mathbb R)\}$$ $$\big(H\psi\big)(x) := -\frac{1}{2}\psi''(x)$$

Dieser Bereich wird auch als Sobolev-Raum bezeichnet$W^{2,2}(\mathbb R)$.$H$ist selbstadjungiert und hat ein rein kontinuierliches Spektrum, das durch gegeben ist$\sigma(H) = [0,\infty)$. Die letztere Tatsache impliziert, dass es keine Eigenfunktionen hat - das heißt, es gibt keine Elemente$\psi\in \mathrm{dom}(H)$die befriedigen$H\psi = \lambda \psi$für einige$\lambda\in \mathbb C$. Die Tatsache, dass es selbstadjungiert ist, impliziert jedoch, dass es einen einheitlichen Operator gibt$U$so dass$\widehat H = U^\dagger H U$ist ein$\mathbb R$-Multiplikationsoperator, wobei ein Multiplikationsoperator$M$ist so einer$\big(M\psi\big)(x) = m(x) \psi(x)$für irgendeine Funktion$m$; dies ist eine der drei äquivalenten Aussagen des Spektralsatzes für selbstadjungierte Operatoren .$^{2}$

In diesem Fall lassen wir ggf$U$sei der Fourier-Operator

$$\big(U\psi\big)(k)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} \psi(x) e^{-ikx} \mathrm dx$$ Es ist nicht schwer, das zu sehen $$\big(\widehat H f\big)(k) = \frac{k^2}{2} f(k)$$ und so, gegeben$\psi\in \mathrm{dom}(H)$, können wir äquivalent schreiben $$\big(H\psi\big)(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} \frac{k^2}{2} \tilde\psi(k) e^{-ikx} \mathrm dk$$ Wo$\tilde \psi \equiv U\psi$ist die Fourier-Transformation von$\psi$. Über den zeitunabhängigen Propagator ist die Zeitentwicklung gegeben durch

$$\psi_t = e^{-iHt}\psi_0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R} e^{-i\frac{k^2}{2} t} \tilde \psi_0(k) e^{-ikx} \mathrm dk$$ was direkt durch Potenzieren des Multiplikationsoperators erhalten wird - also wenn$\big(M\psi\big)(x) = m(x)\psi(x)$, Dann$\big(e^M\psi\big)(x) = e^{m(x)}\psi(x)$. Entsprechend ergibt die Schrödinger-Gleichung $$i\frac{d}{dt}\psi_t = H\psi_t \iff i\frac{d}{dt}\tilde\psi_t=\frac{k^2}{2}\tilde \psi_t$$ $$\implies \tilde\psi_t(k) = e^{-i\frac{k^2}{2} t} \tilde \psi_0(k)$$

---

Die Tatsache, dass$U$in diesem Fall durch den Fourier-Operator gegeben ist, sollte jedem mit Erfahrung in der Fourier-Analyse klar sein. Allerdings für einen allgemeinen Schrödinger Hamiltonian$H:= -\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)$es ist kein so triviales Problem zu lösen. Das richtige Vorgehen ist, dies zu postulieren

$$\big(U\psi\big)(k) = \int_{\mathbb R} \psi(x) \phi_k(x) \mathrm dx$$ für einige$\phi_k(x)$. Die Tatsache, dass$U$sollte unitär sein impliziert das über ein paar Zeilen Algebra $$\int_{\mathbb R} \overline{\phi_k(x)} \phi_q(x) \mathrm dx = \delta(k-q) \qquad \int_{\mathbb R} \overline{\phi_k(x)} \phi_k(y) \mathrm dk = \delta(x-y) \quad (\star)$$ Noch einmal definierend$\widehat H = UHU^\dagger$(was über den Ansatz ein Multiplikationsoperator ist) und$\tilde \psi = U\psi$, haben wir dann $$\big(\widehat H \tilde \psi\big)(k) = E(k) \tilde \psi(k) = \int_{\mathbb R} \big[-\frac{1}{2}\psi''(x) + V(x)\psi(x)\big]\phi_k(x)\mathrm dx$$

Dies muss für willkürlich gelten$\psi\in\mathrm{dom}(H)$; Die partielle Integration sagt uns das dann

$$-\frac{1}{2}\phi_k''(x) + V(x) \phi_k(x) = E(k) \phi_k(x)$$

Das Lösen dieser Differentialgleichung unterliegt der$\delta$-Normalisierungs- und Orthogonalitätsbedingungen$(\star)$bietet das richtige Formular für$\phi_k$, und deshalb$U$. Im Fall der freien Teilchen stellen wir fest, dass durch eine vollkommen gute Wahl gegeben ist$\phi_k(x) = e^{ikx}/\sqrt{2\pi}$mit$k\in\mathbb R$. Entscheidend sind jedoch diese$\phi_k$'s sind keine Elemente von$L^2(\mathbb R)$Im Algemeinen.

Dieses Verfahren wird erklärt$^3$ausführlich an vielen Stellen in der physikalischen Literatur. Allerdings ist die einheitliche Transformation$\psi(x) = \big(U^\dagger f\big)(x) = \int_{\mathbb R} f(k) \overline{\phi_k(x)} \mathrm dk$wird typischerweise als Erweiterung von beschrieben$\psi(x)$in der stetigen (verallgemeinerten) Eigenbasis$\{\overline{\phi_k}\}$. Dies bietet eine Intuition für die physikalische Bedeutung der$\phi_k$'s sollten gelten, aber es muss schnell klargestellt werden, dass sie keine gültigen physikalischen Zustände darstellen, die das System einnehmen kann$^\ddagger$.

---

Zur Erinnerung: selbstadjungierte Operatoren mit rein kontinuierlichen Spektren haben keine Eigenfunktionen. Sie sind jedoch einheitlich äquivalent zu Multiplikationsoperatoren und können auf diese Weise ziemlich leicht verstanden werden. Um die korrekte unitäre Transformation zu finden, müssen wir eine Differentialgleichung lösen, die genauso aussieht wie die Eigenwertgleichung, die dem Hamilton-Operator zugeordnet ist , außer dass (i) die Eigenwerte eher ein Kontinuum als eine diskrete Menge bilden und (ii) die "Eigenfunktionen"$\phi_k$sind nicht gezwungen, darin zu wohnen$L^2(\mathbb R)$. Wir nennen oft die$\phi_k$'s verallgemeinerte oder nicht normalisierbare Eigenzustände.

Der Vollständigkeit halber wird Gelfands Ansatz als manipulierter Hilbert-Raum- Formalismus bezeichnet$^4$in denen diese$\phi_k$werden als (die Kerne von) Verteilungen über einen geeigneten Raum von Testfunktionen verstanden; Diese Beschreibung erfordert wesentlich mehr Maschinen (Kernräume, Verteilungstheorie usw.), um sie technisch streng zu machen. Auf diese Weise ähnelt es in gewisser Weise der Verwendung des hyperrealen Zahlensystems zur Formalisierung von Infinitesimalzahlen in der Analysis – einfacher und etwas intuitiver an der Oberfläche, aber auf technischer Ebene nicht ganz so einfach.

---

$^\ddagger$Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, einen Quantenzustand zu definieren, aber die absolute Mindestanforderung ist, dass sie zu einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für jede mögliche Messung führen; Das heißt, sie müssen eine Möglichkeit bieten, die Frage zu beantworten: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich die (selbstadjungierte) Observable messe?$A$in der (Borel-messbaren) Menge liegen$E\subseteq \mathbb R$?" Eine Möglichkeit , eine solche Wahrscheinlichkeitsverteilung zu definieren, ist durch Strahlen im Hilbert-Raum, der der Theorie zugrunde liegt, während ein allgemeinerer Weg durch die Operatoren der positiven Spurenklasse mit Einheitsspur bereitgestellt wird; für die mathematisch Ambitionierteren kann dies verallgemeinert werden noch weiter . Mit ein wenig Arbeit wird jedoch klar, dass die hier erhaltenen verallgemeinerten Eigenzustände in keine dieser Kategorien fallen. Als spezifisches Beispiel bietet eine vollständig delokalisierte ebene Welle keine Möglichkeit, zu antworten, "was ist das Wahrscheinlichkeit, die Position des Teilchens im Intervall zu messen$E$?", was die Anforderungen erfüllt, die wir an Wahrscheinlichkeitsverteilungen stellen.

Verweise:

[1] Hall, Quantentheorie für Mathematiker

[2] Für eine umfassende Meisterleistung in der Spektraltheorie und den mathematisch strengen Grundlagen der Quantenmechanik siehe Spectral Theory and Quantum Mechanics von Valter Moretti von PhysicsSE .

[3] Siehe z. B. S. 15 von Landau & Lifshitz, A Course in Theoretical Physics, Vol. 3, No. III: Quantenmechanik

[4] A. Bohm, M. Gadella, Dirac Kets, Gamow-Vektoren und Gel'fand-Tripletts , Abschnitt IV

In dieser Frage und in Griffiths Buch gibt es ein weit ernsteres konzeptionelles Problem, das angesprochen werden muss.

Dies ist die Behauptung, dass die (kontinuierliches Spektrum) Eigenfunktionslösungen eines freien Teilchens keine physikalische Interpretation haben.

Diese Behauptung (von Griffiths und in den anderen Antworten) über das kontinuierliche Spektrum ist leider ein sehr häufiges Missverständnis - speziell Griffiths Behauptung ist, dass (Ref. [2], Abschnitt 2.4)

" Im Fall des freien Teilchens stellen die trennbaren Lösungen also keine physikalisch realisierbaren Zustände dar. Ein freies Teilchen kann nicht in einem stationären Zustand existieren; oder anders ausgedrückt, es gibt kein freies Teilchen mit a bestimmte Energie.

Später in seinem zerstreuten Kapitel zwingt ihn dieser Glaube tatsächlich, in einer Fußnote über die allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung zu sagen:

Im Moment gibt es nicht viel Quantenmechanik : Worüber wir wirklich sprechen, ist die Streuung von Wellen im Gegensatz zu klassischen Teilchen ...

Dies ist seine Art, der Tatsache auszuweichen, dass er eine einzelne ebene Welle verwendet hat, um ein ankommendes freies Teilchen mit einem vollständig genau definierten Impuls zu modellieren und es an einem Streuzentrum streuen ließ. Indem wir sie ebene Wellen nennen und sagen, dass es so ist, als würden wir nur die Streuung von Wellen untersuchen, bedeutet dies irgendwie, dass es auf ein Streuproblem eines Quantenteilchens zutrifft, aber kein freies Teilchen durch eine einzelne ebene Welle modelliert. Es ist völlig inkohärent.

Ernst genommen, da seine Aussagen zur Aufstellung der allgemeinen Lösung durch die Born-Näherung zur integralen Lösung der Schrödinger-Gleichung gerechtfertigt werden können, versucht er bizarrerweise zu sagen, dass die Aufstellung der Born-Näherung zur allgemeinen Lösung nicht viel Quantenmechanik beinhaltet alles winkt nur, Mann... Natürlich glauben er und sonst niemand das, aber es sollte bei jedem, der quantenmechanisch denkt, die Alarmglocken schrillen lassen.

Es gibt so viele Probleme mit dieser Überzeugung, dass ich meine Antwort in drei Abschnitte aufteilen muss, um darauf hinzuweisen, wie problematisch dies ist.

A: Der Literatur widersprechen

Zumindest widersprechen diese Behauptungen vollständig den Behauptungen, die Born selbst, der „Begründer“ der „Born-Regel“, aufstellte, als er die Regel bei der Untersuchung eines Kollisionsproblems mit kontinuierlichem Spektrum in [7] aufstellte . Er sagt ganz klar, „es gibt kein Entkommen aus der Schlussfolgerung“, dass das ankommende freie Teilchen, das er an einem Atom streut, durch einen „definiten Zustand“ entlang einer geraden Linie beschrieben wird, „die einer ebenen Welle entspricht“, und verwendet eine ankommende Ebene Welle entlang der$z$-Achse, um seinen "Zustand" (dh seine Wellenfunktion) zu beschreiben. Man kann es einfach als alt abschreiben, gut.

Wichtiger noch, es widerspricht auch völlig den Behauptungen in dem absolut kanonischen Lehrbuch [1], das selbst von Kritikern [10] äußerst ernst genommen wird und explizit auf die Eigenfunktionen eines freien Teilchens verweist, beispielsweise als Wellenfunktion des Teilchens ( [1], § 17 oder § 34 zum Beispiel). In ähnlicher Weise verwendet Dirac ([5], Sec. 30) buchstäblich eine einzelne freie Teilcheneigenfunktion, um die "Angemessenheit" der Begriffe "Wellenfunktion" und "Wellengleichung" zu veranschaulichen. Ein anderer namhafter Autor, der ausdrücklich erklärt, dass eine einzelne freie Teilchen-Eigenfunktion "physikalische Bedeutung" hat, ist Kramers in ([6, Sec. 22]).

Um dies zu glauben, muss man also anfangen zu glauben, dass die meisten QM-Gründer selbst in Bezug auf das grundlegendste QM-Problem falsch lagen, und behaupten, dass ihre physikalische Interpretation für die Nicht-Normalisierung (siehe unten) ebenfalls falsch ist.

Selbst wenn sie bei einem so einfachen Problem wie dem freien Teilchen alle falsch liegen, sollte die Tatsache, dass (einige der meisten) kanonischen Lehrbücher behaupten, dass eine physikalische Interpretation für etwas so Einfaches und Grundlegendes tatsächlich existiert, jedem, der solche Behauptungen aufstellt, ernsthaft innehalten. Selbst das Eingeständnis einer solchen alternativen Perspektive sollte zumindest ein Lackmustest dafür sein, ob man einen ehrlichen Ausdruck der Situation erhält.

Angesichts dessen, wie tief dieser Glaube verwurzelt ist, ist es sinnvoll, ein (gutes) Lehrbuch ([8], Abschnitt 2.3) zu zitieren, das ehrlich auf die Situation in der Literatur hinweist, dass es nur eine von zwei möglichen Entscheidungen ist, sich für das Aufgeben zu entscheiden über die ernsthafte Behandlung von kontinuierlichen Spektrumswellenfunktionen, aber nicht die einzige Wahl:

Es gibt zwei Auswege aus dieser Schwierigkeit. Die erste besteht darin, das Konzept absoluter Wahrscheinlichkeiten aufzugeben, wenn es um Wellenfunktionen wie (2.13) oder (2.16) geht, die nicht quadratintegrierbar sind. Stattdessen,$|\Psi(\mathbf{r}, t)|^2 d \mathbf{r}$wird dann als relative Wahrscheinlichkeit interpretiert, das Teilchen zum Zeitpunkt t in einem Volumenelement zu finden$d\mathbf{r}$zentriert um$\mathbf{r}$, so dass das Verhältnis$|\Psi(\mathbf{r}_1, t)|^2/|\Psi(\mathbf{r}_2, t)|^2$gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen innerhalb eines um zentrierten Volumenelements zu finden$\mathbf{r} = \mathbf{r}_1$, verglichen damit, es innerhalb desselben Volumenelements bei zu finden$\mathbf{r} = \mathbf{r}_2$...

Dies ist natürlich das, was Dirac, Landau usw. tun, was allgemein für unmöglich gehalten wird. Nachdem sie erkannt haben, dass die Position eines Teilchens völlig unbekannt ist (eine grundlegende Implikation des Unbestimmtheitsprinzips), sagen sie dann

Dies legt einen zweiten Ausweg aus der Schwierigkeit nahe, der darin besteht, die Forderung, dass das freie Teilchen einen genau definierten Impuls haben sollte, aufzugeben und ebene Wellen, die unterschiedlichen Impulsen entsprechen, zu einem lokalisierten Wellenpaket zu überlagern, das auf Eins normiert werden kann .

Während es dieser zweite Ansatz zu sein scheint, den die Leute bevorzugen, und es gibt gute Gründe, ihn als Annäherung zu verwenden [tatsächlich ist die Verwendung von Wellenpaketen tatsächlich ein klassisches Annäherungswerkzeug ([1], Abschnitt 6), also sind es die Leute natürlich wirklichnur die schwächste klassische Intuition einschleichen, die mit dieser Annäherung möglich ist], ist es natürlich eine völlig natürliche Konsequenz der Theorie zu leugnen / wegzurationalisieren, weil ein Vorurteil besteht, einen einfacheren Fall (diskretes Spektrum) blind auf den komplizierteren Fall zu übertragen . Es gibt keinen Unterschied zwischen diesem und einer Tendenz für den diskreten Fall in der klassischen diskreten vs. kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitstheorie. Die klassische Interpretation der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung an einem einzelnen (oder diskreten Satz von) Punkten selbst lässt sich auch nicht blind auf die kontinuierliche Verteilung übertragen, aber wir tun nicht einfach so, als sei sie dort bedeutungslos (dh „nicht physikalisch“).

Daher ist es kein Problem, den zweiten Ansatz als Näherung zu verwenden .

In der Tat spricht Dirac ([5], Sec. 12) davon: Er sagt, dass man zwar unendliche Normzustände im kontinuierlichen Spektrum findet, man aber eine unendliche Präzision benötigen würde, um tatsächlich einen kontinuierlichen Spektrumszustand exakt experimentell zu realisieren, dh das zu sagen Obwohl sie da sind, können wir eigentlich keine unendliche Genauigkeit erreichen, also sollte uns die unendliche Norm nicht zu sehr beunruhigen. Er schlägt dann vor, dass möglicherweise nur die endlichen Normzustände diejenigen sind, die experimentell realisiert werden können (da möglicherweise keine unendliche Genauigkeit erforderlich ist). Aber er meint das nur im Hinblick darauf, solche Zustände tatsächlich exakt experimentell zu realisieren, nicht, dass sie nicht als grundlegende Notwendigkeit der Theorie da wären. Er sagt sogar, wir könnten nicht ohne sie auskommen,

Mit anderen Worten (jetzt meins, nicht seins), sagt er im Grunde, wenn Sie denken, dass es in Ordnung ist, die unendlichen Normzustände einfach wegzuwerfen, weil sie experimentell nicht realisierbar sind, dann sollten Sie auch die gesamte Wissenschaft wegwerfen. Die klassische Mechanik sagt zum Beispiel, dass Ort und Geschwindigkeit eines Teilchens gleichzeitig prinzipiell theoretisch erkennbar sind (im Gegensatz zur Quantenmechanik), die Theorie sagt gar nichts anderes aus, es ist nur eine grundlegende Behauptung der gesamten klassischen Mechanik, dass dies der Fall ist ist grundsätzlich möglich. Offensichtlich ist dies experimentell nicht mit unendlicher Präzision möglich, aber das bedeutet nicht, dass wir die gesamte klassische Physik über Bord werfen.

Noch wichtiger ist, dass Dirac später tatsächlich eine physikalische Interpretation unendlicher Normzustände gibt (siehe unten), so dass Sie wahrscheinlich denken, dass es unmöglich ist, die obige Diskussion, die Dirac gibt, falsch zu verstehen, da er sagt, wir sollten unendlich einfach wegwerfen Normzustände.

In einer Fußnote zur ursprünglichen von Neumann ([9], Abschnitt II.8, manchmal als Urheber dessen, was gemeinhin als strenger Ansatz bezeichnet wird) Diskussion eines freien Teilchens sagt er die Wellenfunktion

...gehört nicht dazu$\mathbb{R}_{\infty}$wegen der Unbeschränktheit des Integrals des Quadrats seines Absolutwerts. Aus unserer Sicht gehört ... was nicht dazu$\mathbb{R}_{\infty}$für uns gibt es nicht.

und fügt in einer angehängten Fußnote hinzu:

Natürlich kann nur der Erfolg in der physikalischen Anwendung diese Sichtweise bzw. deren Anwendung in der Quantenmechanik rechtfertigen.

So war sich auch von Neumann bewusst, dass dieser Ansatz Gefahr lief, einfach falsch zu sein. Wenn man behaupten will, dass dieser Ansatz grundsätzlich der richtige Ansatz ist, was man aus den obigen Zitaten ersehen kann, ist man sich in der Literatur nicht einmal einig, man muss nicht nur die oben gegebenen physikalischen Interpretationen von Dirac, Landau ignorieren etc..., sondern müssen auch all die gigantischen konzeptionellen Probleme mit diesem Ansatz, die im nächsten Abschnitt erwähnt werden (es gibt natürlich noch mehr), überzeugend beantworten.

Während es also in Ordnung ist , Wellenpakete (oder Eigendifferentiale usw.) ist genau das, was getan wird), es ist so absurd, als würde man so tun, als würde die klassische Mechanik theoretisch nur sagen, dass die Position / Geschwindigkeit eines Teilchens gleichzeitig nur bis zur Genauigkeit einer bestimmten Messung existiert, anstatt theoretisch irgendwo im Prinzip zu existieren. Aber die Theorie sollte intern manchmal keinen Sinn machen, wenn wir diesen Ansatz wählen, wenn dies der Fall ist. Sehen wir uns das als nächstes an:

B: Theoretische Widersprüche

Schauen wir uns die logischen Probleme an, wenn man sagt, dass die Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums nicht physikalisch sind.

Diese Behauptung, dass eine Eigenfunktion mit kontinuierlichem Spektrum nicht physikalisch ist, würde zB implizieren, dass die Wellenfunktionen des Wasserstoffatoms, das sowohl ein kontinuierliches als auch ein diskretes Spektrum hat und aus diskreten und kontinuierlichen Spektralwellenfunktionen aufgebaut ist, auf einigen der Wellenfunktionen aus physikalischen Eigenfunktionen aufgebaut sind Spektrum (auf dem diskreten Spektrum) und nicht-physikalische Eigenfunktionen auf dem Rest (dem kontinuierlichen Spektrum). Es ist sogar noch absurder, als Fermionen und Bosonen hinzuzufügen, in diesem Fall fügt es „physisch“ und „nicht-physikalisch“ hinzu. Somit sind einzelne „Streuzustände“ in der allgemeinen Entwicklung der Wasserstoffatom-Wellenfunktion aus irgendeinem Grund „nicht physikalisch“, obwohl ein diskreter spektralgebundener Zustandsterm in genau derselben Entwicklung physikalisch ist.

Ein weiteres äußerst wichtiges Beispiel ist die Goldene Regel von Fermi, die auf das kontinuierliche Spektrum angewendet wird, z. B. die Quantenstreuung, die ein Problem des kontinuierlichen Spektrums ist. Gerade weil die Anfangswellenfunktionen im kontinuierlichen Spektrum liegen, ist die naive „Übergangswahrscheinlichkeit“$dw$in Fermis Goldener Regel nicht die korrekten Dimensionen der Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit hat, hat die 'Übergangswahrscheinlichkeit' jetzt Dimensionen, die von ([1], Abschnitt 43) der Normalisierung der anfänglichen Normalisierung der kontinuierlichen Spektrumswellenfunktion abhängen (was machen würde keinen Sinn, wenn wir glaubten, sie könnten nicht einmal normalisiert werden ...). Wenn die anfänglichen Wellenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums als „ein Teilchen pro Volumen“ normalisiert werden$V$“, ist dies eine klare Erklärung dafür, warum wir die „Übergangswahrscheinlichkeit“ in QFT nehmen und sie in eine „Abklingrate“ oder einen „Querschnitt“ umwandeln müssen, um messbare Ergebnisse zu erhalten.

Schlimmer noch, in der QFT ist die Verwendung von Eigenfunktionen einzelner freier Teilchen als Wellenfunktionen der freien Teilchen in einem Streuprozess absolut unerlässlich, und ihre Normalisierungseigenschaften für das kontinuierliche Spektrum sind von entscheidender Bedeutung, wenn ein qft-Streuungsproblem gelöst wird . Man muss glauben, dass jedes qft-Problem, bei dem das ankommende freie Teilchen einen (theoretisch) genau bekannten Impuls hat, so dass es durch einen stationären Zustand eines einzelnen freien Teilchens beschrieben wird, (theoretisch) nicht-physikalisch ist, als ob das irgendeinen Sinn hätte.

Diese Tatsachen verschwinden nicht, nur weil man zweite Quantisierung und Quantenfelder verwendet, zweite Quantisierung kann an erster Stelle ausgehend von der Verwendung von Eigenfunktionen für ein System identischer Teilchen "definiert" werden, siehe beispielsweise ([1] Kap. IX) .

Darüber hinaus nimmt man in der QFT üblicherweise eine Box-Normalisierung über eine endliche Domäne [also sind die Eigenfunktionen der „freien Teilchen“ jetzt diskrete Spektrumswellenfunktionen, und wir können auf „ein Teilchen pro Volumen“ normalisieren$V$' mit wenig Nachdenken, obwohl wir dies auch im kontinuierlichen Spektrum tun können (siehe [1], Abschnitt 15 und 48)], damit wir die Dinge einfacher machen können, aber wir nehmen immer noch eine Grenze am Ende der Berechnung , sie werden in dieser Grenze nicht plötzlich nicht-physisch. Mit anderen Worten, das oben erwähnte Problem der Normalisierung der Fermi-Goldenen Regel ist bei einem QFT-Streuungsproblem immer vorhanden, egal ob wir es am Ende oder am Anfang tun.

Mit anderen Worten, man muss tatsächlich glauben, dass zB die$\frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}}$Normalisierungsfaktoren in Klein-Gordon usw. ... sind alles nur praktische mathematische Tricks, die alle auf magische Weise funktionieren, und ignorieren Sie einfach, warum einzelne ebene Welleneigenfunktionen "freier Teilchen" mit einem kontinuierlichen Spektrum überhaupt solche Normalisierungsfaktoren haben, als ob dies alles gerecht wäre ein glücklicher Zufall. Eine übliche Art, alle physikalischen Überlegungen hier zu ignorieren, besteht darin, so zu tun, als würden wir die Normalisierungsfaktoren zu nicht normalisierbaren „Wellenfunktionen“ hinzufügen, die „nicht physikalisch“ sind, weil wir nur ein relativistisch invariantes Volumenelement wollen, aber es läuft auf eine bestimmte Wahl hinaus von Normalisierungsfaktoren aus der obigen Perspektive, und es wird nicht einmal so häufig gemacht, weil es das Einrichten der Zerfallsraten (kontinuierliches Spektrum), Querschnitte usw. weniger intuitiv macht als das 'ein Teilchen pro Volumen'$V$' Normalisierungsansatz.

Auch bei einem nicht-relativistischen Streuproblem muss man nun glauben: a) ein freies Teilchen mit genau bekannten Impulsen (also beschrieben durch eine individuelle ebene Wellenlösung) wird nicht-physikalisch; b) die Auflösung einer nichtphysikalischen ebenen Welle in Drehimpulse dieser ebenen Welle, die bei der Streuung absolut entscheidend ist, wenn wir zB ein einzelnes einfallendes freies Teilchen nehmen$e^{ikz}$bei gewöhnlichen Streuproblemen ist alles nur nicht-physikalisch; c) stattdessen müssen Argumente, die sich auf das klassische Denken über die Streuung klassischer Wellen stützen, das tatsächliche quantenmechanische Denken ersetzen; d) alle konzeptionellen Probleme können einfach als „Mathematik“ wegrationalisiert werden. Dies ist nur der Anfang des sogenannten rigorosen Ansatzes.

Ein weiterer sehr grundlegender Aspekt der QM, der vollständig versagt, wenn einzelne Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums nicht-relativistischer freier Teilchen keine Wellenfunktionen sind, ist die Existenz eines „diskreten Spektrums“ für die$E < 0$stationäre Zustände eines Teilchens in einem Potential$U$die im Unendlichen verschwindet. Um den Beweis in [1] zu skizzieren, wenn ein einzelner stationärer Zustand in einem solchen Potential ins Unendliche geht, gibt es im Prinzip absolut nichts, was sie davon abhält, im Prinzip unendlich zu werden, tatsächlich kann das Verschwinden des Potentials, wenn man ins Unendliche geht, dazu führen desto wahrscheinlicher ist es, dass das Teilchen unendlich wird, je weiter es hinausgeht. Aber warum erreichen sie nicht unendlich, sondern bleiben in einem endlichen Bereich (so dass sich das Spektrum trotz der Möglichkeit, bis ins Unendliche zu gehen, als diskret herausstellt)? Das liegt genau daran, dass ein solcher stationärer Zustand, wenn er ins Unendliche geht, sich dann auf den stationären Zustand eines einzelnen freien Teilchens reduzieren würde, aber wenn die Energie eines einzelnen freien Teilchens genau bekannt ist, bedeutet dies, dass dies der Fall ist.$E = \mathbf{p}^2/2m$. Aber das ist immer positiv/nicht-negativ, aber davon sind wir ausgegangen$E < 0$gehaltenen. Daher erhalten wir einen unvermeidlichen Widerspruch, es sei denn, das Teilchen ist entweder ein gebundenes Teilchen und reduziert sich daher die Wellenfunktion einfach nie auf die eines freien Teilchens ([1], Abschnitt 18) oder unsinnigerweise wenn der einzige stationäre Zustand mit seinem einzigen Energieeigenwert ist , reduziert sich auf den Fall eines freien Teilchens, wenn das Potential auf Null geht, hört die Physik einfach auf und der stationäre Zustand hört unlogischerweise einfach auf, für das System zu gelten, oder verwandelt sich bestenfalls auf magische Weise plötzlich in ein Integral von stationären Zuständen freier Teilchen, obwohl Wir arbeiteten mit einem einzigen stationären Zustand, dessen Eigenwert aus irgendeinem unerklärlichen Grund durch Annahme genau bekannt war.

Wenn wir nicht akzeptieren, dass Wellenfunktionen mit kontinuierlichem Spektrum tatsächlich Wellenfunktionen sind, dann existiert die Quantenmechanik im Fall des kontinuierlichen Spektrums nicht einmal, daher ist Streuung usw. alles weg, da die Wellenfunktion eines Systems dies nicht tut existieren sogar im Prinzip . Wie in meiner Antwort hier erklärt , die wiederum nur die kanonische Interpretation des QM-Messverfahrens wie in [1] beschrieben zusammenfasst, ist dies im Prinzip unmöglichsogar die Wellenfunktion eines physikalischen Systems zu bestimmen, es sei denn, die abstrakte Fourier-Entwicklung der Kombination „Messgerät + Quantensystem“ „kollabiert“ aufgrund der klassischen Natur des Messgeräts auf eine einzige individuelle Eigenfunktion. Befindet sich das Messgerät im kontinuierlichen Spektrum, bedeutet dies, dass die Wellenfunktion zwangsläufig auf eine einzige kontinuierliche spektrale Eigenfunktion „kollabiert“. In Wirklichkeit tritt das 'Kollapsen' nie auf, die Wellenfunktion war die ganze Zeit dieser einzelne Fourier-Term, dh die gesamte Wellenfunktion nach einer Messung beinhaltet zwei Terme, einen einzigenEigenfunktion des Apparats zum Messen des kontinuierlichen Spektrums und ein zweiter Term in dem Produkt, das sich auf die Wellenfunktion des Systems bezieht, das nach der Messung gemessen hat. Wenn wir davon ausgehen, dass kontinuierliche Spektrum-Eigenfunktionen keine Wellenfunktionen sind, dann müssen wir glauben, dass ein klassisches Messgerät (wenn ein gemessener Eigenwert mit absoluter Sicherheit bekannt ist, was theoretisch möglich ist, sonst sogar die Wellenfunktion eines Systems im Prinzip kann niemals bekannt sein und wir haben keine Theorie) wird genau durch eine 'Wellenfunktion' beschrieben, die keine 'Wellenfunktion' ist, es macht einfach absolut keinen Sinn.

Auf einer noch primitiveren Ebene liegt der Grund dafür, dass die einzelnen Eigenfunktionen die potentiellen Wellenfunktionen eines potentiellen physikalischen Systems sein müssen , darin, dass wir ausgehend von dem grundlegenden Konzept des „ Überlagerungsprinzips “ nicht einmal die „Gesamtwelle“ definieren können Funktion' eines Systems (Linearkombination der stationären Zustände), es sei denn, das System wird durch einzelne Eigenfunktionen beschrieben, die einen möglichen physikalischen Zustand darstellen. Die Dinge, die wir zusammenzählen, erhalten im Prinzip die Gesamtwellenfunktion des Systemsmüssen selbst potentielle Wellenfunktionen für einen möglichen Zustand dieses Systems sein, sonst dürfen sie nicht einmal in die Summe aufgenommen werden. Es macht einfach keinen Sinn, wenn die Eigenfunktionen "nicht physikalisch" sind - es gibt nichts zu "summieren" über das Superpositionsprinzip, um überhaupt mit der Konstruktion der Gesamtwellenfunktion eines Systems eines kontinuierlichen Spektrums zu beginnen.

Um es noch einmal zu sagen: Lesen Sie ([1], Abschnitt 2 und 5) und sagen Sie mir dann, warum wir überhaupt irgendwo in der Physik ein kontinuierliches Spektrum haben dürfen, wenn die 'Eigenfunktionen' nicht wirklich einen möglichen physikalischen Zustand darstellen des Systems - gerade weil jede Eigenfunktion ein potentieller Zustand des Systems ist, können wir sie dann nach dem Superpositionsprinzip addieren, um die Gesamtwellenfunktion zu erhalten. Es widerspricht einfach dem Superpositionsprinzip (wie in [1] beschrieben), die ($\hbar = 1$) Eigenfunktionslösungen$e^{i (\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} - Et)}$der Freiteilchen-Schrödinger-Gleichung sind nicht physikalisch.

Mit anderen Worten, gerade wegen der Born-Regel und des Superpositionsprinzips müssen die Wellenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums gegen Delta-Funktionen normiert und als "physikalische Wellenfunktionen" eines potentiellen Systems interpretiert werden . Wenn wir dies nicht tun könnten, dann existiert nicht einmal die Wellenfunktion eines Systems, denn wenn einige Messgeräte ein kontinuierliches Spektrum haben, können wir die Wellenfunktion eines Systems nach einer Messung nur durch Aufrufen von festlegen Tatsache, dass eine einzigeEigenzustand des Messgerätes für kontinuierliches Spektrum (quasi-klassische) Wellenfunktion beschreibt den Zustand des Messgerätes nach der Messung. Genau aus diesem letzten Punkt wissen wir, dass das System nach einer Messung eine neue Wellenfunktion hat und sich von dem vor der Messung unterscheidet. Andernfalls müssten wir einfach zusammenhanglos sagen, dass die Wellenfunktion, die das Messgerät beschreibt, in eine „nicht-physikalische“ Eigenfunktion „kollabiert“, die das System beschreibt, aber es auch nicht beschreibt, und wir können auf magische Weise aus dem Nichts schließen, dass die System, das wir gemessen haben, bekommt auch eine neue Wellenfunktion, die anders ist als die vor der Messung, es ist einfach absurd.

C: Widerspricht der bekannten physikalischen Interpretation

Lassen Sie mich nun die physikalische Interpretation von nicht normierbaren Eigenfunktionen freier Teilchen anmerken.

Dies wird zum Beispiel in Referenz ([1] Abschnitt 10) angegeben: Die Nichtnormalisierbarkeit einer Eigenfunktion freier Teilchen entspricht nur der Tatsache und hängt wesentlich davon ab, dass das System auf einem unbeschränkten Bereich Zeit im "Unendlichen" verbringen kann. , dh es kann eine 'unendliche Bewegung' auftreten, was auf einem beschränkten Gebiet offensichtlich nicht auftreten kann, und die Nichtnormierbarkeit ist eine absolute Notwendigkeit, um diese physikalische Interpretation geben zu können.

Skizzieren des Arguments in [1]: Das Integral$\int dq |\Psi(q)|^2$divergiert für einen stationären Zustand, weil$|\Psi(q)|^2$(in diesem Fall) wird im Unendlichen nicht Null. Mit anderen Worten, die Wahrscheinlichkeitsdichte an einem Punkt im Unendlichen wird nicht Null, sodass das durch diesen stationären Zustand repräsentierte Teilchen möglicherweise an diesem Punkt im Unendlichen gefunden werden könnte, wenn die Wahrscheinlichkeitsinterpretation sinnvoll sein soll. Nehmen wir jetzt die Position ein$q$bekannt ist, oder vielmehr im Durchschnitt bekannt ist, sollten wir nun zulassen, dass der diesem Ort zugeordnete Eigenwert nicht bekannt ist, und daher sollten wir an diesem Punkt eine lineare Kombination von stationären Zuständen im kontinuierlichen Spektrum nehmen,$\Psi(q) = \int dE a_E e^{-iE t} \psi_E(q)$. Wir können die Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums an dieser Stelle im Mittel (bezüglich der Zeit) durch Quadrieren interpretieren$|\Psi(q)|^2 = \int dE dE' a_E a_{E'}^* e^{-it(E - E')} \psi_E(q) \psi_{E'}^*(q)$und dann über die Zeit mitteln. Da es sich im Fall des kontinuierlichen Spektrums um eine Dirac-Delta-Funktion handelt, wird der Zeitmittelwert daher auf Null gehen (im Fall des diskreten Spektrums bleibt dies stattdessen endlich). Somit ist der zeitliche Durchschnitt der Wahrscheinlichkeitsdichte an jedem Punkt nur im Fall des kontinuierlichen Spektrums Null, dh die mittlere Wahrscheinlichkeitsdichte zum Auffinden eines Teilchens an jedem Punkt ist Null. Dies macht nur Sinn, wenn das Teilchen auf einem unendlichen Gebiet existiert.

Aber was ist das? Eine physikalische Interpretation der nicht normalisierbaren Eigenfunktionen, die direkt auf die Nichtnormalisierbarkeit zurückzuführen ist? Das soll unmöglich sein...

Mit anderen Worten, nur weil ein Teilchen Zeit im Unendlichen auf einem unendlichen Gebiet verbringen kann, ändert es nichts daran, dass quantenmechanische Wellenfunktionen immer noch in der Lage sein sollten, die Tatsache zu beschreiben, dass sie dies tun können, dh dass a frei ist Teilchen auf einem unbeschränkten Gebiet können im Unendlichen gefunden werden. Zu behaupten, dass QM dies nicht beschreiben kann, bedeutet, die Möglichkeiten von QM aufgrund der eigenen Voreingenommenheit für diskrete Wahrscheinlichkeitsspektren künstlich einzuschränken und die Lehre aus dem Unterschied zwischen der „klassischen“ diskreten und der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungstheorie zu ignorieren, die der letztere Fall sein muss sorgsam behandelt, statt einfach rausgeschmissen zu werden.

Man muss eigentlich die Heisenbergsche Unschärferelation leugnen, um etwas anderes zu sagen. Erinnern Sie sich, dass das HUP uns sagt, wenn wir den Impuls genau kennen, ist die Position völlig unbekannt, mit anderen Worten, es gibt keinen Grund, warum das freie Teilchen nicht „im Unendlichen“ lokalisiert werden könnte.

Man muss eigentlich behaupten, dass die Quantenmechanik nicht dazu gerüstet ist, sagen zu können, dass ein freies Teilchen mit genau bekanntem Impuls potenziell im Unendlichen mit einer Wellenfunktion gefunden werden kann, obwohl es genau das ist, was die HUP uns sagt, dass es passieren sollte.

Tatsächlich gibt sogar Dirac ([5], Sec. 48) diese physikalische Interpretation ebenfalls sehr deutlich, nachdem er in einem Satz das obige Argument des Zeitmittels argumentiert hat, dass ein Teilchen auf einem unbegrenzten Bereich "fast seine gesamte Zeit im Unendlichen verbringt" und sich dann zeigt wie wichtig es ist, dass die Norm in diesem Fall abweicht, damit die Interpretation der relativen Wahrscheinlichkeit sinnvoll ist, in Übereinstimmung mit den Argumenten in ([1], Abschnitt 2 und 10) und dem zuvor erwähnten Zitat aus [8].

D: Andere Kommentare

Die Tatsache, dass Menschen dies falsch interpretieren, unterscheidet sich nicht so sehr von der Tatsache, dass die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungstheorie sich geringfügig von der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungstheorie unterscheidet, wobei letztere weit über ein Jahrhundert braucht , bis ihre Grundprinzipien vollständig axiomatisiert sind, und die Intuition einfach verloren geht Letzteres, der gleiche Verlust der Intuition tritt eindeutig im Quantenfall auf. Bei der klassischen kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Wertes Null. Das bedeutet nicht, dass ein einzelnes Ergebnis in einem klassischen Wahrscheinlichkeitsexperiment nicht „real/physisch“ ist.

Es ist einfach nicht verwunderlich, dass in der Quantenmechanik die naive Verwendung der Born-Regel auch für einen einzelnen/diskreten Satz von Eigenwerten „zusammenbricht“, wenn ein kontinuierliches Spektrum existiert, und wir müssen nur in diesem Fall vorsichtiger sein. Das bedeutet keineswegs, dass wir die völlig offensichtliche Tatsache leugnen sollten, dass etwas so Einfaches wie ein einzelnes freies Teilchen, dessen Energie im Prinzip genau (und folglich nicht die Position) bekannt sein kann, existiert und quantenmechanisch beschreibbar sein muss.

Auf mathematischer Ebene scheint der Glaube zu sein, dass „manipulierte Hilbert-Räume“ der natürliche Bereich sind, in dem „Wellenfunktionen mit kontinuierlichem Spektrum“ legitim Wellenfunktionen genannt werden können [3], weil dies die Räume sind, in denen Delta-Funktionen richtig behandelt werden können. Ob dies tatsächlich der richtige Ort ist, an dem man die oben skizzierten offensichtlichen physikalischen Interpretationen verwenden kann, ist eine andere Frage, ich bin mir nicht sicher. Zum Beispiel sagt [4] über einen manipulierten Hilbert-Raum:

„Es ermöglicht, dass Vektoren unendlicher Norm innerhalb des Formalismus untergebracht werden, und beseitigt die Unbestimmtheit, die oft die Frage umgibt, ob die Operatoren, die Observablen darstellen, einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzen (aus dem Vorwort);

Diese beiden Beispiele reichen aus, um zu zeigen, dass der manipulierte Hilbert-Raum eine natürlichere mathematische Umgebung für die Quantenmechanik zu sein scheint als der Hilbert-Raum (S. 29).

Schließlich: Wenn wir anerkennen, dass die offensichtlichen Eigenfunktionen freier Teilchen physikalisch sind, bedeutet dies, dass wir anerkennen müssen, dass eine Hingabe an „trennbare Hilbert-Räume“ tatsächlich physikalische Eigenschaften solcher Systeme leugnet, dass ein freies Teilchen mit genau bekannten Impulsen offensichtlich gefunden werden könnte (' Verbringen Sie Zeit bei') im Unendlichen (wie oben beschrieben). Eine Hingabe an trennbare Hilbert-Räume wurde bekanntermaßen als Einwand gegen die Quantengravitationsschleife verwendet. Zumindest aus der obigen Perspektive, die von Dirac, Landau usw. geteilt wird, ist dies eindeutig nur ein sehr fehlerhaftes / schlechtes Argument gegen die Schleifenquantengravitation, das, da es falsch ist, es den Verteidigern davon tatsächlich nur ermöglicht, das Ganze so zu malen falsch. In der Tat ist das Argument der „Testbarkeit des diskreten Flächenspektrums“ genauso schlecht wie zB das Abschreiben der klassischen Mechanik, weil wir, wie oben erwähnt, keine unendliche Genauigkeit haben, es ist die Art von schwachem Argument, das verwendet wird, um die oben gegebenen physikalischen Vorhersagen über freie Teilchen zu leugnen und es behandelt die Theorie einfach nicht nach den Maßstäben der Beurteilung anderer Theorien. Dies scheint zum Beispiel ein weitaus stärkeres Argument dagegen zu sein, das seine eigene interne Logik anspricht.

Verweise:

1. Landau und Lifshitz, "Quantum Mechanics", 3. Aufl.;
2. Griffiths, „Einführung in die Quantenmechanik“, 2. Aufl.
3. nlab: " manipulierter Hilbertraum ".
4. Ballentine, "Quantenmechanik, eine moderne Entwicklung", 1. Aufl.
5. Dirac, "Prinzipien der Quantenmechanik", 4. Aufl.
6. Kramers, "Quantenmechanik", 1. Aufl.
7. Born, "On the Quantum Mechanics of Collisions" (1926), Übersetzung von JAW, WHZ (1981).
8. Bransden und Joachain, "Quantum Mechanics", 2. Aufl.
9. von Neumann, „Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik“, 1. Aufl.
10. Bell, „ Gegen die Messung “, 1990 Phys. Welt 3 (8) 33.