δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( x)|^2dx?

Es ist ein allgemeines Phänomen , dass, wenn ein Eigenzustand einem diskreten Eigenwert entspricht (wie die gebundenen Eigenzustände des Wasserstoffatoms oder harmonische potentielle Hamiltonianer), der Zustand normierbar ist, und wenn er einem kontinuierlichen Eigenwert entspricht, der Zustand nicht normierbar ist. Mit "kontinuierlichem Eigenwert" meine ich einen Eigenwert, der zu einem kontinuierlichen Teil des Spektrums gehört. Der Positionsoperator$\hat{x}$hat ein kontinuierliches Spektrum, also ist es kein Problem, nach der Norm zu fragen$|x\rangle$macht keinen Sinn, weil wir nicht erwarten sollten, dass dieser Zustand überhaupt eine klar definierte Norm hat.

In Ihrem Beispiel sehen die Dinge wegen der Delta-Funktion seltsam aus, aber die Seltsamkeit tritt auch anderswo auf. Betrachten Sie zum Beispiel den Impulsoperator$\hat{p}$. Ein Eigenvektor von$\hat{p}$mit Eigenwert$p$Ist:

$$\psi_p(x)=e^{i p x}$$

Das Integral der Norm davon über den ganzen Raum divergiert deutlich. Das ist genau das gleiche Problem wie "$\delta(0)$" Problem. Also muss man seine Normalisierung durch eine andere Bedingung wählen. Normalerweise geschieht dies über die Identität$\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}dk=2\pi\delta(x)$, die auf andere Weise verschärft werden können. Dann definieren wir normalerweise

$$\langle x|p\rangle=\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i p x}$$ als die richtige Normalisierung, denn dann

$$\begin{align*} \langle p | p'\rangle&=\int \langle p | x \rangle\langle x | p'\rangle dx \\ &=\int \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ip x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ip' x}dx \\ &=\int \frac{1}{2\pi}e^{ix(p'-p)}dx \\ &=\delta(p'-p) \end{align*}$$ Dies ist definitiv ein deutlicher Normalisierungszustand $\langle p | p\rangle=1$! Andere Normalisierungen sind für andere Kontexte nützlich. Wenn ich mich richtig erinnere, ist die Normalisierung "Wahrscheinlichkeit 1 für 1 Einheitswürfel" (entsprechend dem ersten Fall ohne pi's) nützlicher bei der Berechnung von Streuquerschnitten.

Dies ist im Allgemeinen alles möglich, um es streng zu machen, aber Sie haben nicht viel davon. Für das Spektrum der$\hat{x}$Operator sind diese Eigenzustände technisch gesehen nicht im Hilbert-Raum . Um den zweiten Satz von Gleichungen rigoros zu machen, handeln Sie im Allgemeinen mit einer Testfunktion (also anstatt sich Gedanken darüber zu machen, ob$\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}dk=2\pi\delta(x)$, machen Sie sich Sorgen darüber, ob$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{ikx} f(x)dkdx=2\pi f(0)$, für verschiedene Einschränkungen der Funktion$f$und verschiedene Grenzen des Integrals. Es ist nützlich, diesen technischen Details etwas Aufmerksamkeit zu schenken, aber im Allgemeinen bekommt man nicht viel Physik dabei heraus.

Angenommen, alles, was wir tun, ist gut definiert (was nicht wirklich stimmt, aber das letzte Mal, als ich überprüft habe, dass dies nicht math.stackexchange war), haben wir Folgendes:

$$\begin{align} \langle x_1 | x_1 \rangle &= \int \mathrm{dx}\ |x_1(x)|^2 \\ &= \int \mathrm{dx}\ \delta(x-x_1)^2 \\ &= \int \mathrm{dx}\ \delta(x-x_1)\delta(x-x_1) \\ &= \delta(x_1 - x_1) \\ &= \delta(0) \end{align}$$

also alles geht. Der entscheidende Schritt ist die vierte Gleichheit, wo ich verwendet habe$\int \mathrm{d}x\ \delta(x-x_1) f(x) = f(x_1)$mit$f(x) = \delta(x-x_1)$.