Normalisierung von Basisvektoren mit stetigem Index?

Jede gute Basis sollte vollständig sein. Wenn die Menge aller$|x\rangle$vollständig ist, jeder andere Vektor$|\psi\rangle$im Hilbert-Raum Ihres Systems sollte beschreibbar sein$|\psi\rangle=\sum_{x} |x\rangle\langle x|\psi\rangle$. Diese Summe ist für stetige Variablen nicht sinnvoll$x$, daher die Notwendigkeit, die Vollständigkeitsbeziehung mit einem Integral neu zu definieren (wie Jans Antwort schön demonstriert). Sobald Sie Integrale verwenden, um eine sinnvolle Vollständigkeitsbeziehung zu definieren, dann die Beziehung$\langle x|y\rangle =\delta_{x,y}$ist nicht richtig, weil es gibt

$$\begin{equation} |y\rangle=\int \mathrm{d}x |x\rangle\langle x|y\rangle=\int \mathrm{d}x |x\rangle\delta_{x,y}=0, \end{equation}$$ was inkonsequent ist. Der Ausweg ist zu definieren $\langle x|y\rangle=\delta(x-y)$, was richtig gibt $$\begin{equation} |y\rangle =\int \mathrm{d}x |x\rangle\langle x|y\rangle=\int \mathrm{d}x |x\rangle \delta(x-y)=|y\rangle. \end{equation}$$ Jetzt $\langle x|y\rangle=\delta(x-y)$führt zu $\langle x|x\rangle=\delta(0)$, das Sie vielleicht nicht mögen, aber das ist das Beste, was man tun kann.

I) Wir interpretieren die Frage von OP (v2) wie folgt:

Warum nicht normalisieren

$$\tag{1} \langle x_1 | x_2\rangle~=~\delta_{x_1,x_2}~:=~\left\{ \begin{array}{ccl} 1 & \text{for} & x_1= x_2, \\ 0& \text{for} & x_1\neq x_2, \end{array} \right.$$ über eine kontinuierliche Kronecker-Delta-Funktion und nicht über eine Dirac-Delta-Verteilung $$\tag{2} \langle x_1 | x_2\rangle~=~\delta(x_1-x_2)~?$$

Kurz gesagt, der Grund ist, dass die rhs. von Gl. (1) ist fast überall gleich der Nullfunktion bzgl. das Lebesgue-Maß.

In dieser Antwort möchten wir die Intuition über Gaußsche Wellenpakete aufbauen, um zu argumentieren, dass wir eine Dirac-Delta-Verteilungsnormalisierung (2) (möglicherweise Modulo einer herkömmlichen Normalisierungskonstante) anstelle einer kontinuierlichen Kronecker-Delta-Funktionsnormalisierung (1) verwenden sollten.

II) Um konkret zu sein, lassen Sie uns der Einfachheit halber ein Ket betrachten

$$\tag{3} |\psi\rangle \quad\longleftrightarrow\quad\psi(x)$$

als Positionswellenfunktion$\psi(x)\in L^2(\mathbb{R})$im Hilbertraum

$$\tag{4} L^2(\mathbb{R})~=~{\cal L}^2(\mathbb{R})/\sim,$$

wobei wir durch eine Äquivalenzrelation "ausgemoddet" haben$\sim$". Hier${\cal L}^2(\mathbb{R})$ist die Menge der quadratintegrierbaren Funktionen. Zwei Funktionen$\phi\sim\psi$sind äquivalent iff$\phi$Und$\psi$sind fast überall gleich (ae) bzgl. das Lebesgue-Maß. Siehe zB diesen Phys.SE Beitrag. Überlappungen/innere Produkte gelesen

$$\tag{5} \langle \phi|\psi\rangle ~:=~ \int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~\phi(x)^{\ast}~\psi(x).$$

III) Nun pragmatisch, ohne mathematische Konstrukte wie Verteilungen, was einen lokalisierten Zustand darstellen würde$x=x_1$? Lassen wir zu, dass das Wellenpaket um einen winzigen Betrag gespreizt wird$\epsilon>0$, sagen wir kleiner als jede experimentelle Auflösung. Wir können eine solche Wellenfunktion durch eine Gaußsche Funktion mit extrem schmaler Spitze modellieren

$$\tag{6} |x_1\rangle \quad\longleftrightarrow\quad \psi_{x_1}(x)~=~ A\epsilon^{-p} \exp\left[-\left(\frac{x-x_1}{2\epsilon}\right)^2\right],$$

Wo$p\in\mathbb{R}$ist eine feste Leistung und$A>0$eine unten zu bestimmende Normalisierungskonstante ist. Die Normierung von (6) ist

$$\langle x_1|x_1\rangle ~\stackrel{(5)}{=}~ \int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~|\psi_{x_1}(x)|^2 ~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{=}~ \sqrt{2\pi}A^2\epsilon^{1-2p}$$ $$\tag{7}\longrightarrow ~\left\{ \begin{array}{ccl} 0 & \text{if} & p<\frac{1}{2} \\ \sqrt{2\pi}A^2& \text{if} & p=\frac{1}{2} \\ \infty& \text{if} &p>\frac{1}{2} \end{array} \right\} \text{ for } \epsilon~\to~ 0^{+}.$$

Um zu vermeiden, dass die Normierung (7) im Grenzwert verschwindet$\epsilon\to 0^{+}$, wir müssen verlangen, dass die Macht$p\geq \frac{1}{2}$. Die Kronecker-Normierung (1) [Modulo einer Gesamtkonstante] entspricht der Potenz$p=\frac{1}{2}$.

IV) Allgemeiner, wenn wir den Ansatz (6) annehmen, dann die Überlappung zwischen zwei solchen Kets$|x_1\rangle$Und$|x_2\rangle$liest sich im Sinne einer Verteilung

$$\langle x_1|x_2\rangle~\stackrel{(5)}{=}~\int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~\psi_{x_1}(x)^{\ast}~\psi_{x_2}(x) ~\stackrel{(6)}{=}~A^2\int_{\mathbb{R}} \! \mathrm{d}x ~\epsilon^{-2p}~ \exp\left[-\left(\frac{x-x_1}{2\epsilon}\right)^2-\left(\frac{x-x_2}{2\epsilon}\right)^2\right]$$ $$~\stackrel{\text{Gauss. int.}}{=}~\sqrt{2\pi}A^2\epsilon^{1-2p}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x_1-x_2}{2\epsilon}\right)^2\right]$$ $$\tag{8}\longrightarrow ~\left\{ \begin{array}{ccl} 0\text{ almost everywhere} & \text{if} & p<1 \\ 4\pi A^2~\delta(x_1-x_2)& \text{if} & p=1 \\ \text{too singular}& \text{if} &p>1 \end{array} \right\} \text{ for } \epsilon~\to~ 0^{+}.$$

Im letzten Schritt haben wir die Wärmekerndarstellung der Dirac-Verteilung verwendet . Die Dirac-Normierung (2) [Modulo einer Gesamtkonstante] entspricht der Leistung$p=1$. Im Einzelnen ggf$f(x_1-x_2)$eine Testfunktion ist, dann ist Gl. (8) sagt das

$$\tag{9}\int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_1~ f(x_1-x_2)~ \langle x_1|x_2\rangle ~\longrightarrow ~\left\{ \begin{array}{ccl} 0 & \text{if} & p<1 \\ 4\pi A^2~ f(0)& \text{if} & p=1 \\ \infty & \text{if} &p>1 \end{array} \right\} \text{ for } \epsilon~\to~ 0^{+}.$$

V) Physikalisch nach der Bornschen Regel das Integral (10) der Überlappung

$$\tag{10} \left| \int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_1~ \langle x_1|x_2\rangle\right|^2 ~=~1$$

soll die tautologische Wahrscheinlichkeit bezeichnen, dass sich ein Teilchen an einer Position befindet$x_2$gehört zur reellen Achse$\mathbb{R}$mit Wahrscheinlichkeit 100%.

Vergleich von Gl. (9) und (10), werden wir natürlich dazu geführt, die Potenz zu wählen$p=1$, und damit die Dirac-Normierung (2). Beachten Sie, dass die Macht$p=1$bedeutet, dass der Positionszustand$|x_1\rangle$ist nicht normierbar und gehört insbesondere nicht zum Hilbert-Raum, vgl. Gl. (7).

VI) Eine strengere Diskussion der Gl. (2) und (10) lassen sich durch Einführung von Impuls-Eigenzuständen angeben. Es stellt sich heraus, dass letztendlich Gl. (10) ist problematisch, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Warum können diese Basisvektoren nicht auf eins normiert werden, sondern nur auf die Delta-Funktion?

Denn das würde diese kontinuierlich indizierten Vektoren für die Rolle einer "kontinuierlichen Basis" für normalisierbare Funktionen ungeeignet machen. Hier ist die Erklärung. Angenommen, eine Funktion$\psi(\mathbf r)$wird als Integral ausgedrückt

$$\psi(\mathbf r) = \int c(k) \phi_k(\mathbf r)\,dk,$$ wo die Funktionen $\phi_k$, $\phi_{k'}$sind orthogonal zu $k\neq k'$: $$\int \phi_k^*(\mathbf r) \phi_{k'}(\mathbf r)\,d^3\mathbf r = 0$$ (zumindest im distributiven Sinne).

Der obige Ausdruck von$\psi$kann als „Linearkombination der Basisfunktionen“ beschrieben werden$\phi_k(\mathbf r)$". Wenn die Funktion$\psi$zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte nach der Bornschen Regel verwendet werden soll, müssen wir verlangen

$$\int \psi^*\psi\, d^3\mathbf r = 1.$$ Dies führt zu $$\int \int c^*(k)c(k') (\phi_k, \phi_{k'}) \,dkdk' = 1,~~~(*)$$ Wo $(\phi_k, \phi_{k'})$ist ein Skalarprodukt zweier kontinuierlich indizierter Funktionen: $$(\phi_k, \phi_{k'}) = \int \phi_k^*(\mathbf r) \phi_{k'}(\mathbf r)\,d^3\mathbf r.$$

Stellen Sie sich Punkte einer Ebene vor, die durch kartesische Koordinaten gekennzeichnet sind$k,k'$. Wenn wir hätten$(\phi_k, \phi_{k'}) = \delta_{kk'}$mit gewöhnlichem Kronecker-Delta wäre das Skalarprodukt nur auf der Diagonalen ungleich Null$k=k'$die null Fläche hat, während alle über die große Fläche wo$k\neq k'$es würde verschwinden. Das Integral in (*) würde dann auch verschwinden und könnte nicht wie nötig gleich 1 sein.

Eine Möglichkeit, das Integral in (*) einen Wert ungleich Null haben zu lassen, besteht darin, zu postulieren, dass für die obigen orthogonalen Funktionen$(\phi_k, \phi_{k'})$ist als irgendeine singuläre Verteilung der Art anzusehen, die Dirac eingeführt hat - um wesentliche Beiträge aus der Diagonalen zu bringen$k=k'$nur.

In der Praxis wählen wir Funktionen$\phi_k(\mathbf r)$so dass sie gehorchen

$$(\phi_k, \phi_{k'})= \delta(k-k').$$

Dann ist das Integral in (*)

$$\int |c(k)|^2\,dk,$$ die für eine richtig normalisierte Funktion ungleich Null und gleich 1 sein kann $c(k)$.

In der Sprache der Kets die Kets$|x\rangle, |y\rangle$sollen so sein, dass sie die Relation erfüllen

$$\langle x|y\rangle = \delta(x-y),$$

denn nur dann die Relation

$$|\psi\rangle = \int |x\rangle \langle x|\psi\rangle \, dx,$$ was Teil der Motivation hinter dem Formalismus von Kets ist, gültig und konsistent ist

$$\langle \psi|\psi\rangle = 1.$$

Der Ausdruck

$$\langle x|x\rangle$$ ist kein gültiger Ausdruck und wird normalerweise nicht in Manipulationen mit dem Braket-Formalismus verwendet; Wenn wir die obige Beziehung verwenden, würden wir erhalten $\delta(x-x)$, was entweder als positiv unendlich oder überhaupt als keine sinnvolle Zahl angesehen werden könnte (seit $\delta$ist keine gewöhnliche Funktion und hat keine gewöhnlichen Funktionswerte mit Zahlenwerten.)