Nachweis der Zeitunabhängigkeit der Normierungskonstante der Wellenfunktion

Question

Nachweis der Zeitunabhängigkeit der Normierungskonstante der Wellenfunktion

Es i

Ich versuche zu beweisen, dass die Normalisierungskonstante zeitunabhängig ist. Wenn wir es für eine bestimmte Zeit festgelegt haben, wird es für alle Zeiten konstant bleiben.

Vermuten $\psi(x,t)$ ist eine Wellenfunktion.
Lassen $A(t)$ sei die Normierungskonstante von $\psi(x,t)$
Dann $\displaystyle A^*A\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=1\tag{1}$
$\displaystyle \implies \frac{d}{dt}A^*A\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=0\tag{2}$
$\displaystyle \implies\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx\frac{d}{dt}A^*A+A^*A\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=0\tag{3}$

Jetzt erstmal analysieren, $\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx$
$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial t}|\psi(x,t)|^2dx\tag{4}$
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}|\psi(x,t)|^2dx=\frac{\partial}{\partial t}(\psi^*\psi)dx=\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial t}=\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial t}\tag{5}$
Durch zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
$\displaystyle \frac{\partial\psi}{\partial t}=\frac{i\bar{h}}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\bar{h}}V\psi\tag{6}$
Auch, $\displaystyle \frac{\partial\psi^*}{\partial t}=-\frac{i\bar{h}}{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\bar{h}}V\psi^*\tag{7}$

So, $\displaystyle \frac{\partial|\psi|^2}{\partial t}=\psi^*\Big(\frac{i\bar{h}}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\bar{h}}V\psi\Big)+\psi\Big(-\frac{i\bar{h}}{2m}\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\bar{h}}V\psi^*\Big)\tag{8}$
$\displaystyle \implies\frac{\partial|\psi|^2}{\partial t}=\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\psi^*}{\partial x^2}\Big)\tag{9}$
$\displaystyle \implies\frac{\partial|\psi|^2}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\Big[\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)\Big]\tag{10}$
$\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial x}\Big[\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)\Big]dx\tag{11}$
$\displaystyle \implies\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)\Big|_{-\infty}^\infty\tag{12}$
Als $\displaystyle \psi(x,t)\to0$ als $x\to\pm\infty$ .
So, $\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=0\tag{13}$
So, $(3)$ wird
$\displaystyle \implies\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx\frac{d}{dt}A^*A=0\tag{14}$
Als $\psi$ ist quadratintegrierbar, also $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2dx=c$ Wo $c\in\mathbb R$ Und $c\neq 0$
So, $\frac{d}{dt}A^*A=0\tag{15}$
$\implies |A|^2=constant\tag{16}$

Ich habe folgende Zweifel aus dem Beweis
(i) Aus $(11)$ Zu $(12)$ , im RHS haben wir den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung verwendet.
Die Integration der Ableitung ist die Stammfunktion. $\int_a^bf'(x)dx=f(x)$ . Aber hier ist die Bedingung, dass f stetig und differenzierbar sein muss $[a,b]$ mit $f'$ integrierbar auf $[a,b]$ .
Also rein $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial}{\partial x}\Big[\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)\Big]dx$ , wir nehmen $\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)$ Fortsetzung folgt. Als $\psi$ Und $\psi^*$ stetig ist, bedeutet dies, dass $\frac{\partial\psi}{\partial x}$ ist auch durchgehend. Aber wir kennen im Allgemeinen die erste Ableitung von $\psi$ kann auch diskontinuierlich sein. Wie haben wir hier also den Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung verwendet?

(ii) Von $(12)$ Zu $(13)$ , wir haben genommen $\frac{i\bar{h}}{2m}\Big(\psi^*\frac{\partial\psi}{\partial x}-\psi\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\Big)\Big|_{-\infty}^\infty=0$ mit der Tatsache, dass $\psi\to 0$ als $x\to\pm\infty$ . Das bedeutet aber auch $\frac{\partial\psi}{\partial x}\to 0$ als $x\to\pm\infty$ . Aber wie können wir das sicher sein $\frac{\partial\psi}{\partial x}$ ist begrenzt?

(iii) Ein $(16)$ , wir bekommen $|A|^2=constant$ . Aber daraus, wie wir kommen $A(t)=constant$ .
$|A|^2$ konstant bedeutet, dass die Größe des Vektors in der komplexen Ebene konstant ist, aber es kann vorkommen, dass der Winkel von $A$ Änderungen. Dieser Winkel ändert sich in Abhängigkeit von $t$ . Also, wie schließen wir das $A$ ist zeitunabhängig?

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Nachweis der Zeitunabhängigkeit der Normierungskonstante der Wellenfunktion

ZeroTheHero · Answer 1

Wenn der Hamiltonoperator zeitunabhängig ist, dann scheint er viel einfacher zu verwenden

| Ψ (T) ⟩ = e^{- ich \hat{H} T / ℏ} | Ψ (0) ⟩ .

$\vert\Psi(t)\rangle = e^{-i \hat H t/\hbar}\vert\Psi(0)\rangle\, .$ Dann geht das automatisch

\begin{aligned} ⟨ Ψ (T) | Ψ (T) ⟩ & = ⟨ Ψ (0) | e^{ich \hat{H} T / ℏ} e^{- ich \hat{H} T / ℏ} | Ψ (0) ⟩, \\ = ⟨ Ψ (0) | Ψ (0) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle \Psi(t)\vert\Psi(t)\rangle &= \langle \Psi(0)\vert e^{i\hat H t/\hbar} e^{-i \hat H t/\hbar}\vert \Psi(0)\rangle\, ,\\ &=\langle \Psi(0)\vert \Psi(0)\rangle \end{align}$ seit

e^{i \hat{H} t / ℏ} e^{- i \hat{H} t / ℏ} = 1

$e^{i\hat H t/\hbar}e^{-i \hat H t/\hbar}=\mathbb{1}$ .

Wenn der Hamiltonoperator zeitabhängig ist, dann der Evolutionsoperator $U(t)$ ist einheitlich aufgebaut, so dass

\begin{aligned} | Ψ (T) ⟩ & = U (T) | Ψ (0) ⟩, \\ ⟨ Ψ (0) | U^{†} (T) U (T) | Ψ (0) ⟩ & = ⟨ Ψ (0) | Ψ (0) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \vert\Psi(t)\rangle &= U(t)\vert\Psi(0)\rangle \, ,\\ \langle \Psi(0)\vert U^\dagger(t)U(t)\vert \Psi(0)\rangle&= \langle \Psi(0)\vert \Psi(0)\rangle \end{align}$ als

U^{†} (t) U = 1

$U^\dagger(t)U=\mathbb{1}$ Durch den Bau.

Die Wellenfunktionsversion folgt auf die gleiche Weise:

\begin{aligned} Ψ (X, T) & = e^{- ich \hat{H} T / ℏ} Ψ (X, 0), \\ Ψ (X, T) & = U (T) Ψ (X, 0) \end{aligned}

$\begin{align} \Psi(x,t)&=e^{-i \hat H t/\hbar}\Psi(x,0)\, ,\\ \Psi(x,t)&=U(t)\Psi(x,0) \end{align}$ für den zeitunabhängigen bzw. den zeitabhängigen Fall.

IMO überspringt diese Antwort durch die Verwendung einer solchen abstrakten Hilbert-Raum-Notation die Kernschwierigkeit von OP, nämlich zu verstehen, in welchem Sinne die naive Positionsraum-Schrödinger-Gleichung diese Hilbert-Raum-Eigenschaften erfüllt (z. B. die Fähigkeit, Verteilungen und nicht nur Funktionen zu verwenden). für $\psi$ , und die genaue hermitische Eigenschaft des Differentialoperators $\hat H$ ). Es reicht nicht zu sagen " $\psi$ ist eine Funktion" oder sogar " $\psi$ ist eine quadratintegrierbare Funktion". Deshalb habe ich OP auf die Funktionsanalyse verwiesen.
@nanoman, aber das ist eine ganz andere Frage, da es nichts damit zu tun hätte, die Normalisierung im Laufe der Zeit beizubehalten, sondern dies zu zeigen $\psi$ ist ein „legaler“ Zustand und kann jederzeit normalisiert werden.
Aber es stellt sich heraus, dass die Erhaltung der Normalisierung im Ortsraum im Wesentlichen darauf hinausläuft, die Hermitesche Eigenschaft des Differentialoperators abzuleiten $\hat H$ , also stellt sich die Frage nach dem genauen Funktionsraum $\psi$ lebt in.

Nanomann · Answer 2

Um dies vollständig rigoros zu machen, müssten Sie sich mit der Funktionsanalyse befassen . Aber ich werde versuchen, es intuitiv zu erklären.

(i) Wohl alle Derivate von $\psi$ sind in Wirklichkeit kontinuierlich. Nicht glatte Funktionen sind eine Idealisierung, aber eine nützliche. Sie können mithilfe von Distributionen formalisiert werden . Sogar wenn $f$ ist diskontinuierlich, $f'$ ist definiert als etwas, das sich integriert $f$ . Die Ergebnisse sind äquivalent dazu, glatte Funktionen zu betrachten und eine Grenze zu nehmen , in der sie eine Diskontinuität oder einen Knick entwickeln.

(ii) Die Wellenfunktion muss aus physikalischen Gründen einen realen Erwartungswert an kinetischer Energie haben. Der kinetische Energieoperator ist proportional zu $-\partial^2/\partial x^2$ und hat einen Erwartungswert proportional zu

\int_{- \infty}^{\infty} D X ψ^{*} (- \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}}) = \int_{- \infty}^{\infty} D X {| \frac{\partial ψ}{\partial X} |}^{2} - {ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial X} |}_{- \infty}^{\infty} .

$\int_{-\infty}^\infty dx\, \psi^* \left(-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\right) = \int_{-\infty}^\infty dx\, \left|\frac{\partial\psi}{\partial x}\right|^2 - \left.\psi^* \frac{\partial\psi}{\partial x}\right|_{-\infty}^\infty.$ Der Imaginärteil davon ist genau proportional zu Ihrem Schlüsselausdruck,

(ψ^{*} \partial ψ / \partial x - ψ \partial ψ^{*} / \partial x) |_{- \infty}^{\infty}

$(\psi^*\, \partial\psi/\partial x - \psi\, \partial\psi^*/\partial x)|_{-\infty}^\infty$ , die also Null sein muss. (Technisch gesehen muss die Wellenfunktion in einem Raum definiert werden, in dem der Energieoperator hermitesch ist.)

(iii) Die Schrödinger-Gleichung bestimmt vollständig die Entwicklung der Wellenfunktion $\psi$ , und was Sie gezeigt haben, ist das, wenn $\psi$ ist zunächst normalisiert ( $|A| = 1$ ) dann bleibt es normalisiert ( $|A|$ Überreste $1$ ). Indem man das sagt $A$ die Normalisierungskonstante ist, Sie haben nur ihre Größe definiert . Also tatsächlich die Phase von $A$ ist willkürlich, aber nicht Teil der Wellenfunktion . Angesichts dessen $|A| = 1$ , können Sie die Normalisierungsbedingung einfach schreiben als $\int_{-\infty}^\infty dx\, |\psi|^2 = 1$ . Letzten Endes, $A$ ist ein redundanter, unphysikalischer Parameter.

Yejus · Answer 3

In Bezug auf (i) bin ich mir immer noch nicht sicher, was Sie fragen. Allgemein, $d\psi/dx$ ist über ein Intervall kontinuierlich, wenn das Potential $V(x)$ innerhalb dieses Intervalls endlich ist. An den Grenzen, wenn das Potenzial $V(x) \to \pm \infty$ , Dann $d\psi/dx$ ist nicht mehr durchgehend. Daher hängt die Stetigkeit der ersten Ableitung der Wellenfunktion vom Verhalten des Potentials ab.

(Siehe zum Beispiel Griffiths Einführung in die Quantenmechanik, Kapitel 2, Abschnitt 2.5.2 Die Delta-Funktion gut.)

Bezüglich (ii) „fallen“ bei einem physikalischen System die Wellenfunktionen auf Null ab, wenn man sich nähert $\pm \infty$ auf der realen Positionsachse - ansonsten ist das System unphysikalisch. Dies bedeutet, dass die Wellenfunktion schließlich flach wird, was bedeutet, dass ihre erste Ableitung Null ist.

In Bezug auf (iii) haben Sie damit Recht $A$ könnte eine "Winkel" -Abhängigkeit haben. Dies wird als Phasenabhängigkeit bezeichnet und ist in der Quantenmechanik meist belanglos. Sie können die Phase immer wie folgt isolieren: $A(t) = |A| \, e^{i\, \phi(t)}$ . Danach, sobald Sie bewerten $|A|^2 = A(t)^* A(t)$ reduziert sich der Phasenfaktor auf eins.

Ich habe deinen Punkt verstanden. Aber ich habe eine Frage, die tut $d\psi/dx$ muss allgemein auch begrenzt werden? Können Sie auch meine Zweifel i) klären?
Wenn $F$ ist eine stetige Funktion function over $(a,b)$ und differenzierbar über $[a,b]$ und Derivat von $F$ über dieses Intervall integrierbar ist, dann nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung $\int\frac{dF}{dx}dx=F+c$ . Also in Analogie zu RHS der Gleichung $(11)$ , $\frac{d\psi}{dx}$ muss durchgehend sein. Aber wenn das Potential dann eine Dirac-Delta-Funktion ist $\frac{d\psi}{dx}$ hat an diesem Punkt einen Sprung, was bedeutet, dass es nicht kontinuierlich ist. Wie können wir also im Allgemeinen den Fundamentalsatz der Analysis verwenden? $(11)$ ?
"Die Wellenfunktion wird schließlich flach, was bedeutet, dass ihre erste Ableitung Null ist" - das ist streng genommen nicht ausreichend, weil $\psi$ könnte mit Schwingungen, die in der Amplitude abnehmen, aber immer schneller werden, denkbar gegen Null gehen $x \to \pm\infty$ , So $\partial\psi/\partial x$ würde nicht auf null gehen.

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