Wellenfunktion nicht normierbar

Question

Wellenfunktion nicht normierbar

Benutzer119264

Muss die Lösung der Schrödinger-Gleichung immer normierbar sein? Mit normalisierbar meine ich eine gegebene Wellenfunktion $\psi(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) |^{2} D X < \infty oder \int_{0}^{\infty} | ψ (X) |^{2} D X < \infty

$\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx<\infty \qquad \text{or}\qquad \int_{0}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx <\infty$

Was wären die physikalischen Auswirkungen, wenn eines (oder beide) dieser Integrale divergieren? Unter dem Gesichtspunkt, dass die Kopenhagener Interpretation eine der beliebtesten ist und die Wellenfunktion in diesem Fall als Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretiert wird; wird die divergierende Wellenfunktion für jede andere Interpretation der Quantenmechanik gültig sein? Kennt jemand Wellenfunktionen, die nicht normierbar sind? Was wäre, wenn es eine Singularität bei 0 gäbe, die es zu jeder Zeit divergieren ließe? Zum Beispiel

\int_{0}^{\infty} | ψ (X) |^{2} D X \to \infty Aber \int_{A}^{\infty} | ψ (X) |^{2} D X < \infty

$\int_{0}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx \to\infty\quad \text{but}\quad \int_{a}^{\infty}|\psi(x)|^2 dx <\infty$

Wo $a>0.$ Würde das zweite Integral als gültiges PDF gelten ?

resgh

Impuls-Eigenzustände sind im Ortszustandsraum nicht normierbar.

Benutzer37343

@namehere, was bedeutet es "Impulseigenzustände sind nicht normalisierbar"

Antworten (3)

Wellenfunktion nicht normierbar

Impuls-Eigenzustände sind im Ortszustandsraum nicht normierbar.
@namehere, was bedeutet es "Impulseigenzustände sind nicht normalisierbar"

DW · Answer 1

Aufgrund meines begrenzten Wissens zu diesem Thema würde ich sagen, dass eine nicht normalisierbare Wellenfunktion keinen physikalischen Sinn ergeben würde.

Denken Sie daran, dass die Wellenfunktion eine Funktion ist, deren quadrierter Wert zwischen zwei Punkten berechnet die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass das Teilchen zwischen diesen beiden Punkten gefunden wird. Die Einschränkung, dass Wellenfunktionen normalisiert werden, ist also im Grunde nur eine Anspielung auf die Realität – das Teilchen muss IRGENDWO gefunden werden.

Normalerweise gilt die Einschränkung:

\int_{- \infty}^{\infty} | ψ (X) |^{2} D X = 1,

$\int_{-\infty}^ {\infty} |\psi(x)|^{2} dx = 1,$ dh die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu finden, wenn man dazwischen schaut

- \infty

$-\infty$ Und

\infty

$\infty$ ist 1. Eine Wahrscheinlichkeit größer als eins zu haben, das Teilchen zwischen diesen Grenzen zu finden, würde keinen physikalischen Sinn ergeben.

Eine durch die oben geposteten Gleichungen beschriebene Wellenfunktion würde bedeuten, dass es eine unendliche Chance gibt, das Teilchen irgendwo zu finden .

Ich finde deine Erklärung vernünftig. Wir legen die maximale Wahrscheinlichkeit fest, dass sie Eins ist. Nehmen Sie dann Anpassungen vor, die von dort aus folgen. Hier verwenden wir mod-squared gemäß den Einschränkungen der 2-Norm. Ich denke, das ist die Essenz.

Punk_Physiker · Answer 2

Die Wellenfunktion muss entweder normierbar oder der Grenzwert einer Folge normierbarer Funktionen sein, die allgemein als Verteilungen (Verallgemeinerungen von Funktionen) bekannt sind. Ein bekanntes Beispiel für eine Verteilung ist die Dirac-Delta-"Funktion", $\delta(x)$ . Wenn die räumliche Wellenfunktion ist $\psi=\delta(x_0)$ , dann hat die Impulswellenfunktion die Form $\psi\propto e^{-ipx_0},$ was nicht streng normalisierbar ist. Das gegenteilige Beispiel ist $\psi(p)=\delta(k)$ die unendliche ebene Wellen mit räumlichen Wellenfunktionen der Form sind $\psi\propto e^{ikx}.$

Wir gehen mathematisch damit um, indem wir davon ausgehen, dass solche Zustände normalisierbar sind, dh

\int | e^{ich k X} |^{2} D X = \int D X \equiv 1,

$\int |e^{ikx}|^2dx=\int dx\equiv 1,$ obwohl dieses Integral divergent ist. Die physikalische Lösung ist die Tatsache, dass „ unendliche ebene Wellen“ niemals wirklich physikalisch unendlich sind.

Die tatsächliche Art und Weise, wie wir mit ebenen Wellen umgehen, besteht darin, Wellenpakete zu konstruieren. Grundsätzlich gehen wir davon aus $e^{ich (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 M} T)}$ $e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}$ sind gültige Lösungen (für alle $k$ ) und dann weiter sagen: Nun, dann ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von diesen. $Ψ \propto \int_{- \infty}^{\infty} D k ϕ (k) e^{ich (k X - \frac{ℏ k^{2}}{2 M} T)}$ $\Psi \propto \int_{-\infty}^{\infty}{dk\phi(k)e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m}t)}}$ Wählen wir die $\phi(k)$ Richtig, diese Funktion ist normalisierbar. Natürlich ist die ebene Welle in Wirklichkeit eine Idealisierung wie die reibungsfreie Oberfläche, daher ist ein ungewöhnliches Verhalten nicht völlig unerwartet.

teja4477 · Answer 3

Ja, ein gutes Beispiel ist die Lösung freier Teilchen. Wo die Lösung wie eine ebene Wellenlösung ist, stellen solche Sole keine physikalisch akzeptierten Zustände dar. Dies ist der Grund, warum jedes Problem im Zusammenhang mit freien Teilchen eine anfängliche Wellenfunktion haben sollte, die normalisiert werden kann andernfalls können wir nicht weitermachen.

Wellenfunktion nicht normierbar

Benutzer119264

resgh

Benutzer37343

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DW

Benutzer37343

Punk_Physiker

Wouter

teja4477

Was bedeutet die Schreibweise Ψk/(Ψk,Ψk)1/2Ψk/(Ψk,Ψk)1/2\Psi_k/(\Psi_k,\Psi_k)^{1/2}?

δ(0)=∫∞−∞|x1(x)|2dxδ(0)=∫−∞∞|x1(x)|2dx\delta(0)=\int_{-\infty}^\infty |x_1( x)|^2dx?

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