Positionswellenfunktion nicht normierbar? -Wellenfunktion im Doppelspaltexperiment

Ich ging die Feynman Lectures Vol. III über Quantenmechanik und bin in Kapitel 3-1 ( http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_03.html ) auf eine Formel gestoßen, die mir sehr seltsam erscheint. Formel 3.7 besagt, dass „die Amplitude, von der ausgegangen werden soll R 1 Zu R 2 " Ist

(3.7) ⟨ R 2 | R 1 ⟩ = e ( ich P R 12 / H ) R 12 .

Diese Formel wird herangezogen, um das Interferenzmuster des Doppelspaltexperiments zu erklären, und sie ergibt für mich zumindest einen gewissen intuitiven Sinn, da die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron auf dem Bildschirm zu finden, sicherlich mit der Entfernung von der Mitte (und daher R 12 ) erhöht sich.

Ich interpretiere dies als Positionswellenfunktion des Partikels, es gibt mir die Amplitude, um das Partikel an jedem Punkt zu finden R 2 .
Wenn das der Fall ist, dann wäre die Wellenfunktion nicht normierbar, wie kann das sein?

Außerdem behauptet Feynman, dass das Teilchen eine bestimmte Energie hat und da es sich um ein freies Teilchen handelt, würde dies einen bestimmten Impuls implizieren, aber ich kann nicht sehen, wie diese Funktion eine Eigenfunktion des Impulsoperators sein soll.

Andererseits, indem man sagt, dass das Teilchen bei beginnt R 1 , würde dies bedeuten, dass diese Wellenfunktion das Ergebnis einer Positionsmessung mit dem Ergebnis ist R 1 aber das kann auch nicht stimmen.

Ich bin auch neugierig, wie die Amplitude für einen späteren Zeitpunkt sein würde, meine Vermutung wäre so etwas wie

⟨ R 2 ( T ) | R 1 ⟩ = e ( ich P ∗ ( R 2 − ( R 1 + v ∗ T ) / H ) | R 2 − ( R 1 + v ∗ T ) |

Was unmöglich stimmen kann, da dies eine Art klassische Flugbahn für das Teilchen implizieren würde.

Ich habe versucht, die zeitliche Entwicklung dieser Wellenfunktion mit Mathematik zu berechnen, indem ich eine Fourier-Transformation in den Impulsraum durchgeführt, den Hamilton-Operator auf die Impulswellenfunktion angewendet und dann eine Fourier-Transformation zurück in den Ortsraum durchgeführt habe (ich weiß, wie man mit guten alten Wellenpaketen umgeht auf diese Weise), aber für diesen habe ich nur Müll bekommen.

Es scheint, dass es hier ein großes Missverständnis der Grundlagen der quantenmechanischen Positionswellenfunktionen gibt, und jede Hilfe wird sehr geschätzt!

Weiß jemand, wie man Gleichung 3.7 herleitet? Ich denke, das würde es ziemlich verdeutlichen.

Antworten (1)

Gleichung (3.7) ist keine Wellenfunktion, daher führt ihre Interpretation zu Verwirrung. Vielmehr handelt es sich um eine Übergangsamplitude, deren Quadrat als Wahrscheinlichkeit interpretiert werden kann (und die wie erwartet als 1/r**2 fällt). Der Zähler verfolgt die Phase ϕ = k ⋅ R 12 = P ⋅ R 12   / ℏ , das ist der Begriff, der Interferenz beschreibt.

In Bezug auf Ihren Kommentar zum Unsicherheitsprinzip: Wenn eine Wellenebene einen dünnen Schlitz durchläuft, ist ihre horizontale Positionsunsicherheit die Breite des Schlitzes - dies führt zu einer transversalen Impulsunsicherheit, die umgekehrt proportional zur Schlitzgröße ist: Dies ist Beugung.

Aber ist die Amplitude für einen Übergang von Punkt r1 (ich nehme an, dies ist die Position des Schlitzes) zu einem Punkt r2 nicht genau gleich dem Wert der Positionswellenfunktion des Teilchens, dessen Position zuvor bei r1 gemessen wurde? ?
Positionswellenfunktion nicht normierbar? -Wellenfunktion im Doppelspaltexperiment
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