Ich habe eine unendliche Basis, die sich mit jedem Punkt verbindet, , auf der -Achse, ein Basisvektor so dass die Matrix von ist voll von Nullen und einer Eins durch die Element. Das Buch über Quantenmechanik von Shankar sagt, dass das innere Produkt zwischen einem Basisvektor und sich selbst nicht eins ist, warum nicht? Warum können diese Basisvektoren nicht auf eins normalisiert werden, sondern nur auf die Dirac-Delta-Funktion ?
Jede gute Basis sollte vollständig sein. Wenn die Menge aller vollständig ist, jeder andere Vektor im Hilbert-Raum Ihres Systems sollte beschreibbar sein . Diese Summe ist für stetige Variablen nicht sinnvoll , daher die Notwendigkeit, die Vollständigkeitsbeziehung mit einem Integral neu zu definieren (wie Jans Antwort schön demonstriert). Sobald Sie Integrale verwenden, um eine sinnvolle Vollständigkeitsbeziehung zu definieren, dann die Beziehung ist nicht richtig, weil es gibt
I) Wir interpretieren die Frage von OP (v2) wie folgt:
Warum nicht normalisieren
über eine kontinuierliche Kronecker-Delta-Funktion und nicht über eine Dirac-Delta-Verteilung
Kurz gesagt, der Grund ist, dass die rhs. von Gl. (1) ist fast überall gleich der Nullfunktion bzgl. das Lebesgue-Maß.
In dieser Antwort möchten wir die Intuition über Gaußsche Wellenpakete aufbauen, um zu argumentieren, dass wir eine Dirac-Delta-Verteilungsnormalisierung (2) (möglicherweise Modulo einer herkömmlichen Normalisierungskonstante) anstelle einer kontinuierlichen Kronecker-Delta-Funktionsnormalisierung (1) verwenden sollten.
II) Um konkret zu sein, lassen Sie uns der Einfachheit halber ein Ket betrachten
als Positionswellenfunktion im Hilbertraum
wobei wir durch eine Äquivalenzrelation "ausgemoddet" haben ". Hier ist die Menge der quadratintegrierbaren Funktionen. Zwei Funktionen sind äquivalent iff Und sind fast überall gleich (ae) bzgl. das Lebesgue-Maß. Siehe zB diesen Phys.SE Beitrag. Überlappungen/innere Produkte gelesen
III) Nun pragmatisch, ohne mathematische Konstrukte wie Verteilungen, was einen lokalisierten Zustand darstellen würde ? Lassen wir zu, dass das Wellenpaket um einen winzigen Betrag gespreizt wird , sagen wir kleiner als jede experimentelle Auflösung. Wir können eine solche Wellenfunktion durch eine Gaußsche Funktion mit extrem schmaler Spitze modellieren
Wo ist eine feste Leistung und eine unten zu bestimmende Normalisierungskonstante ist. Die Normierung von (6) ist
Um zu vermeiden, dass die Normierung (7) im Grenzwert verschwindet , wir müssen verlangen, dass die Macht . Die Kronecker-Normierung (1) [Modulo einer Gesamtkonstante] entspricht der Potenz .
IV) Allgemeiner, wenn wir den Ansatz (6) annehmen, dann die Überlappung zwischen zwei solchen Kets Und liest sich im Sinne einer Verteilung
Im letzten Schritt haben wir die Wärmekerndarstellung der Dirac-Verteilung verwendet . Die Dirac-Normierung (2) [Modulo einer Gesamtkonstante] entspricht der Leistung . Im Einzelnen ggf eine Testfunktion ist, dann ist Gl. (8) sagt das
V) Physikalisch nach der Bornschen Regel das Integral (10) der Überlappung
soll die tautologische Wahrscheinlichkeit bezeichnen, dass sich ein Teilchen an einer Position befindet gehört zur reellen Achse mit Wahrscheinlichkeit 100%.
Vergleich von Gl. (9) und (10), werden wir natürlich dazu geführt, die Potenz zu wählen , und damit die Dirac-Normierung (2). Beachten Sie, dass die Macht bedeutet, dass der Positionszustand ist nicht normierbar und gehört insbesondere nicht zum Hilbert-Raum, vgl. Gl. (7).
VI) Eine strengere Diskussion der Gl. (2) und (10) lassen sich durch Einführung von Impuls-Eigenzuständen angeben. Es stellt sich heraus, dass letztendlich Gl. (10) ist problematisch, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Warum können diese Basisvektoren nicht auf eins normiert werden, sondern nur auf die Delta-Funktion?
Denn das würde diese kontinuierlich indizierten Vektoren für die Rolle einer "kontinuierlichen Basis" für normalisierbare Funktionen ungeeignet machen. Hier ist die Erklärung. Angenommen, eine Funktion wird als Integral ausgedrückt
Der obige Ausdruck von kann als „Linearkombination der Basisfunktionen“ beschrieben werden ". Wenn die Funktion zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte nach der Bornschen Regel verwendet werden soll, müssen wir verlangen
Stellen Sie sich Punkte einer Ebene vor, die durch kartesische Koordinaten gekennzeichnet sind . Wenn wir hätten mit gewöhnlichem Kronecker-Delta wäre das Skalarprodukt nur auf der Diagonalen ungleich Null die null Fläche hat, während alle über die große Fläche wo es würde verschwinden. Das Integral in (*) würde dann auch verschwinden und könnte nicht wie nötig gleich 1 sein.
Eine Möglichkeit, das Integral in (*) einen Wert ungleich Null haben zu lassen, besteht darin, zu postulieren, dass für die obigen orthogonalen Funktionen ist als irgendeine singuläre Verteilung der Art anzusehen, die Dirac eingeführt hat - um wesentliche Beiträge aus der Diagonalen zu bringen nur.
In der Praxis wählen wir Funktionen so dass sie gehorchen
Dann ist das Integral in (*)
In der Sprache der Kets die Kets sollen so sein, dass sie die Relation erfüllen
denn nur dann die Relation
Der Ausdruck
QMechaniker