Was ist die Interpretation der Nullwahrscheinlichkeit in der Physik?

Die Unmöglichkeit eines Ereignisses impliziert das Verschwinden seiner Wahrscheinlichkeit. Aber das Gegenteil ist nicht wahr. Dieser Beitrag in Math Stack Exchange Posts sagt, warum null Wahrscheinlichkeit nicht unbedingt unmögliche Ereignisse bedeutet. Warum handeln wir dann so, wie es in der Physik ist, dh wie ist verschwindende Wahrscheinlichkeit sowohl notwendig als auch ausreichend für die Unmöglichkeit eines Ereignisses in der Physik?

Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte reelle Zahl aus der Menge aller reellen Zahlen zu wählen, null, aber wenn jemand wirklich genau diese Zahl aufgreift, stellt sich heraus, dass das Ereignis doch nicht wirklich unmöglich war ...

Kann in ähnlicher Weise ein Teilchen gefunden werden, bei dem die Wellenfunktion identisch verschwindet? Ich meine, immer wenn wir den quadratischen Modul einer Wellenfunktion in einem bestimmten Intervall integrieren und das Ergebnis genau Null ist, interpretieren wir es als Unmöglichkeit, dass sich das Teilchen im Integrationsbereich befindet. Ist diese Deutung richtig? Wenn ja, warum? Wenn nicht, wie sollten wir die Nullwahrscheinlichkeit allgemein in der Physik richtig interpretieren?

Erhalten Sie jemals 0 von der Integration oder nur etwas sehr, sehr nahes an 0?
Mir fällt kein Beispiel ein, in dem ein Ereignis mit einer sehr kleinen (aber von Null verschiedenen) Wahrscheinlichkeit als unmöglich bezeichnet würde. Es ist sehr unwahrscheinlich, und Sie werden es vielleicht nie in Ihrem Leben beobachten, aber eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null impliziert, dass es in einer begrenzten Anzahl von Versuchen auftreten wird.
@shaihorowitz Ich möchte die Ergebnisse interpretieren, bei denen die Integration genau null Ergebnisse liefert.
@NuclearHoagie Ich habe diesen irreführenden Satz entfernt.
Unter der Annahme von Punktmassen muss die Wahrscheinlichkeitsdichte, ein Atomelektron am Ursprung (Kern) zu finden, genau Null sein, sonst hätten Sie eine unendliche Coulomb-Kraft. Aus diesem Grund ist die Coulomb-Wellenfunktion am Ursprung Null. Sie könnten den Ursprung nicht einmal als möglichen Ort für das Elektron auswählen, wenn Sie wollten.
@Thomas, das bedeutet also, dass die Wahrscheinlichkeit Null ist, aber das sollte nicht bedeuten, dass wir das Teilchen dort nicht mathematisch finden werden. Aber man sagt es uns ... Warum?
Man sollte die Wahrscheinlichkeit 0 nicht als Unmöglichkeit des Eintretens interpretieren, sondern eher als Unmöglichkeit der Vorhersage. Man kann nicht erraten, was das Ergebnis eines Ereignisses mit Wahrscheinlichkeit 0 sein wird (eine solche Vorhersage wird "immer" fehlschlagen).
@ Yvan Velenik Danke. dein Kommentar beantwortet genau meine Frage. Aber ich werde nach einer detaillierteren Antwort suchen, wenn es überhaupt welche gibt.
@ManasDogra Sie werden kein Elektron im Zentrum eines Atoms finden. Es wird mathematisch ausgeschlossen, da es eine unendliche Kraft ergeben würde. Die Wellenfunktionen haben anderswo (im Grunde die Knoten der Welle) eine Wahrscheinlichkeit von Null, aber dies ist hier physikalisch schwieriger zu argumentieren.
@YvanVelenik Unmöglichkeit der Vorhersage bedeutet überall gleiche Wahrscheinlichkeit, nicht 0 Wahrscheinlichkeit
@Thomas: Du missverstehst meinen Kommentar. Betrachten Sie eine Gaußsche Wahrscheinlichkeitsverteilung über der reellen Linie. Wählen Sie Ihre Lieblingszahl und wählen Sie dann zufällig eine aus, indem Sie diese Verteilung verwenden: Sie werden (fast sicher) nicht übereinstimmen. In diesem Sinne können Sie das Ergebnis nicht vorhersagen. Sie werden "nie" richtig raten.
@Thomas: Das hat nichts damit zu tun, dass die Verteilung gleichmäßig ist, sondern damit, dass sie absolut stetig ist. Wenn Sie eine gleichmäßige Verteilung über eine endliche Menge haben, können Sie das Ergebnis mit positiver Wahrscheinlichkeit vorhersagen: Betrachten Sie zum Beispiel das Ergebnis eines fairen Münzwurfs.
@YvanVelenik In der Realität gibt es keine gleichmäßigen Verteilungen. Gaußsche usw. Verteilungsfunktionen sind kontinuierliche mathematische Funktionen, die bestimmte Merkmale der realen (diskreten) Verteilung annähern . Ihr Argument basiert auf einem Merkmal, das außerhalb der Gültigkeit dieser Annäherung liegt.
@Thomas Die Frage betrifft die Interpretation der mathematischen Modellierung in der Physik, daher ist Ihr Standpunkt strittig. Aber in jedem Fall ist es bei der Beschreibung eines Gases sehr sinnvoll, eine stetige Verteilung zu verwenden. Mein Punkt (es ist eigentlich kein Argument) besteht nur darin, dem OP eine alternative Denkweise über die Bedeutung von Ereignissen mit Nullwahrscheinlichkeit zu bieten, und ich stehe voll und ganz dazu.

Antworten (2)

Das Quadrat der Wellenfunktion | ψ ( X ) | 2 ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte , keine Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem kleinen Bin der Breite zu finden D X zentriert bei X 0 ist sehr nahe | ψ ( X 0 ) | 2 D X und damit fast 0 Wenn | ψ ( X 0 ) | 2 = 0 , aber die genaue Rechnung ergibt

P = ∫ X 0 − D X / 2 X 0 + D X / 2 D X | ψ ( X ) | 2
was verschwindend klein, aber dennoch ungleich Null sein wird, selbst wenn | ψ ( X 0 ) | 2 = 0 da es vermutlich einen nahegelegenen Punkt im Intervall geben wird [ X 0 − D X / 2 , X 0 + D X / 2 ] Wo | ψ ( X 0 ) | 2 ≠ 0 Exakt.

Beachten Sie, dass dies ein Merkmal von kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist, in denen sich die Verteilung befindet 0 an isolierten Stellen. Wenn die | ψ ( X ) | 2 ist genau 0 auf dem Intervall ist die Wahrscheinlichkeit, das System in diesem Intervall zu finden, genau 0 .

Wenn Sie es stattdessen mit diskreten Ergebnissen zu tun haben und - sagen wir - Sie ein System in der vorbereiten | ↑ ⟩ Staat, es gibt 0 und genau 0 Wahrscheinlichkeit, es in der zu finden | ↓ ⟩ Zustand.

Meinen Sie also, es gibt kein physisches Beispiel, wo die P ist genau null? Eine andere Sache - Sie sagen, wenn die | ψ ( X ) | 2 im Intervall genau 0 ist, ist die Wahrscheinlichkeit, das System in diesem Intervall zu finden, genau 0. -- Meine Frage ist, bedeutet diese exakte Wahrscheinlichkeit von 0, dass wir das Teilchen nicht im Intervall finden werden? Warum so?
Es mag offensichtlich erscheinen, dass die Wahrscheinlichkeit Null bedeutet, dass wir das Teilchen per Definition nicht finden werden. Aber der Math-Stack-Austauschbeitrag und das Beispiel in meiner Frage sagen, dass dies möglicherweise nicht so ist ... Wahrscheinlichkeit Null bedeutet möglicherweise nicht die Unmöglichkeit des Ereignisses ... Die Hauptverwirrung liegt dort :)
Ich denke, das hat etwas mit fast nie zu tun
@ManasDogra wenn ja 0 auf einem endlichen Intervall, dann ist es genau 0 zum intervall: da findest du das system gar nicht mehr ∫ D X | ψ ( X ) | 2 = 0 auf dem Intervall. Wenn ja 0 an einem oder mehreren Punkten auf dem Intervall dann ∫ D X | ψ ( X ) | 2 ≠ 0 . Mit anderen Worten, das Integral einer nicht negativen Funktion, die an einigen Stellen in einem Intervall Null ist, ist nicht Null, sondern das Integral einer Funktion, die Null ist 0 über ein Intervall ist 0 bei Integration über das Intervall.
Ja, ja, das habe ich verstanden, aber meine eigentliche Frage ist, die exakte Wahrscheinlichkeit von Null zu interpretieren, wenn das Ereignis eintritt ... bedeutet das, dass wir das Teilchen nicht im Intervall finden werden? Es sollte zumindest nicht mathematisch sein, aber oft sagen wir in der Physik, dass das Teilchen in diesem Intervall nicht gefunden wird ...
Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte genau ist 0 Überall im Intervall werden Sie es niemals in diesem Intervall finden. Hier gibt es keine Deutung. Die einzig mögliche Verwirrung besteht darin, dass die Wahrscheinlichkeit verschwindend gering ist (aber nicht genau 0 ). Umgangssprachlich verwenden manche vielleicht verschwindend klein als Synonym für 0 aber sie sind streng genommen nicht gleich.
Warum sollte Null-Wahrscheinlichkeit die Nichtexistenz des Teilchens im Intervall bedeuten? ... Null-Wahrscheinlichkeit bedeutet nicht die Unmöglichkeit eines Ereignisses.
verschwindend klein ist nicht 0 . Es ist sehr unwahrscheinlich , dass das System in dem Intervall gefunden wird, aber das ist es nicht 0 . (wir müssen aneinander vorbeireden...). Wenn da ist 0 Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt.
Wenn es streng ist 0 über das Intervall, dann kann das System in diesem Intervall nicht gefunden werden. Wenn Ihr System ein Elektron ist, kann es nicht im Intervall sein. Die „Existenz“ (was auch immer das bedeutet) des Elektrons in diesem Intervall ist unmöglich: Sie können eine beliebige Anzahl von Messungen durchführen, und das Teilchen wird sich niemals auf dem Intervall befinden, sodass Sie daraus schließen, dass für ein auf diese Weise vorbereitetes System die Elektron „existiert nicht“ über das Intervall, da Sie es dort nie finden.
Ja, ich denke, wir sprechen über verschiedene Dinge .... Eigentlich sagte ich verschwindende Wahrscheinlichkeit (= 0) nicht verschwindend klein ... vielleicht klingt es wie ein falscher Ausdruck, also habe ich den obigen Kommentar bearbeitet .... Ich bin sehr daran interessiert wissen Sie über die Wahrscheinlichkeit von Null genau Bescheid ... und Ihr letzter Satz des obigen Kommentars ist genau der Grund, warum ich den Austauschbeitrag für den mathematischen Stapel in meine ursprüngliche Frage eingefügt habe, in der behauptet wird, warum die Wahrscheinlichkeit von Null nicht die Unmöglichkeit des Ereignisses impliziert.
Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte genau ist 0 in einem Intervall, dann wird das Teilchen fast sicher außerhalb dieses Intervalls gefunden , was nicht notwendigerweise bedeutet, dass es unmöglich ist, das Teilchen in diesem Intervall zu finden.
Dies ist nicht wirklich eine Physik-Frage - eher eine Mathe-Frage über Grenzwerte usw. Wenn Sie dieses Thema verstehen möchten, müssen Sie wahrscheinlich etwas Zeit mit unseren Mathe-Brüdern verbringen. Zurück zur Physik: Bei der QM kann es bestimmte Punkte im Raum geben, an denen die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen zu finden, Null ist, aber überall sonst nicht Null. Wenn ein Messgerät die Position eines Teilchens sagt X = A , es bedeutet wirklich X − ϵ < X < A + ϵ . dh das Teilchen befindet sich in einem bestimmten Bereich. Dh Ihre Frage ist ein Nichtstarter, da sie physikalisch nicht sinnvoll ist.
@ZeroTheHero Wenn es über das Intervall hinweg strikt 0 ist, kann das System in diesem Intervall nicht gefunden werden - Warum so? Warum passiert es, dass wir das System im Intervall nicht finden können, wenn die Wahrscheinlichkeit Null ist? Sandejo verdeutlicht meinen Punkt
@Sandejo Ist das wohl genau 0 überall im Intervall, warum dann mit ziemlicher Sicherheit außerhalb?
@Sandejo wenn ich meine die Dichte ist genau 0 Messpunkte schließe ich aus 0 .
Fast sicher bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit genau ist 1 . Sicher bedeutet, dass das Ereignis der gesamte Raum elementarer Ergebnisse ist, die Sie hier nicht kennen.
@Sandejo Punkt genommen, aber ich bin mir nicht sicher, ob in dieser Diskussion der Raum der Ergebnisse unbekannt ist.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis möglich, wenn es nicht leer ist. Im Zusammenhang mit Zufallsvariablen können wir sagen, dass es für eine Zufallsvariable möglich ist ξ den Wert annehmen X Wenn ξ ( ω ) = X für einige ω ∈ Ω , Wo Ω ist der Raum der elementaren Ergebnisse im Wahrscheinlichkeitsraum , auf dem ξ ist definiert.

In der Physik haben wir keinen Zugang zu Wahrscheinlichkeitsräumen; wir haben nur Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Mit anderen Worten, wenn wir eine Zufallsvariable haben X das Ergebnis einer Positionsmessung eines Partikels in einem bestimmten Zustand darstellt | a ⟩ , können wir die Wahrscheinlichkeitsdichte von finden X von P X ( X ) = | ⟨ X | a ⟩ | 2 , aber diese Dichte definiert nicht eindeutig eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum, also können wir überlegen X irgendeine Zufallsvariable mit dieser Dichte sein. Daher haben wir eigentlich nicht genügend Informationen, um zu sagen, dass es unmöglich ist, das Teilchen in einem Knoten (Punkt, an dem die Wellenfunktion verschwindet) zu finden. Es ist jedoch auch wichtig, sich daran zu erinnern, dass jede Messung, die Sie durchführen, eine gewisse Unsicherheit ungleich Null haben wird, sodass Sie sich keine Sorgen darüber machen müssen, dass einzelne Punkte eine Wahrscheinlichkeit von Null haben, da Sie dies in der Praxis wirklich können Messen Sie das Teilchen nur so, dass es sich in einem Intervall befindet, und nicht an einem bestimmten Punkt.

Daher haben wir nicht genügend Informationen, um zu sagen, dass es unmöglich ist, das Teilchen in einem Knoten zu finden – dieser subtile Punkt zusammen mit der Tatsache, dass eine Wahrscheinlichkeit von 0 in einem bestimmten Intervall nicht bedeutet, dass das Teilchen nicht in diesem Intervall sein kann oft nicht in Büchern erwähnt!
Verwandte Frage: Kann es eine physikalische Situation geben, in der die Wellenfunktion in einem Subintervall des Definitionsbereichs des Problems 0 ist? Ich kann mir keine vorstellen, denn wenn es in einem Teilintervall 0 ist, aber nicht überall, dann muss die Funktion (glaube ich) an dem Punkt, an dem sie plötzlich aufhört, null zu sein, nicht differenzierbar sein und daher an diesen Punkten einen undefinierten Impuls haben ... bin habe ich Recht in dieser Argumentation?
@ManasDogra Sie können den Knoten der Wellenfunktion mit dem Knoten einer klassischen stehenden Welle vergleichen. Und die Amplitude und Energie einer stehenden Welle an einem Knoten ist dauerhaft Null.
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