Quantenmechanik: Kann die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im ganzen Raum zu finden, zu bestimmten Zeiten kleiner oder größer sein?

Im Buch Introduction to Quantum Mechanics (von David Griffith) gibt es ein Beispiel 2.1 :

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Angenommen, ein Teilchen beginnt in einer linearen Kombination von nur zwei stationären Zuständen:

$$\Psi(x,0)~=~c_1\Psi_1(x)+c_2\Psi_2(x)$$

(Zwei halten es einfach, ich gehe davon aus, dass die Costants$c_n$und die Staaten$\Psi_n$sind real.) Was ist die Wellenfunktion$\Psi(x,t)$zu späteren Zeiten? Finden Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte und beschreiben Sie ihre Bewegung.

Lösung: Der erste Teil ist einfach:

$$\Psi(x,t)~=~c_1\psi_1(x)e^{-iE_1/\hbar}\,+\,c_2\psi_2(x)e^{-iE_2/\hbar}$$

Wo$E_1$Und$E_2$sind die damit verbundenen Energien$\psi_1$Und$\psi_2$. Es folgt dem:

$$|\Psi(x,t)|^2~=~ (c_1\psi_1e^{iE_1/\hbar}+c_2\psi_2e^{iE_2/\hbar})(c_1\psi_1e^{-iE_1/\hbar}+c_2\psi_2e^{-iE_2/\hbar}) \\=~c_1^2\psi_1^2+c_2^2\psi_2^2+2c_1c_2\psi_1\psi_2cos[(E_2-E_1)t/\hbar]$$

Offensichtlich schwingt die Wahrscheinlichkeitsdichte sinusförmig. bei einer Winkelfrequenz$(E_2-E_1)/\hbar$; dies ist sicherlich kein stationärer Zustand. Beachten Sie jedoch, dass es einer linearen Kombination von Zuständen (mit unterschiedlichen Energien) bedurfte , um Bewegung zu erzeugen.

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Mein Problem ist: Die Kosinusfunktion ist zu bestimmten Zeiten gleich Null. Also, wenn ich die Funktion zu diesem Zeitpunkt normalisiere:

$$\int_ {-\infty}^\infty c_1^2\psi_1^2+c_2^2\psi_2^2\,\text{d}x~=~1$$

Andererseits ist die Kosinusfunktion zu bestimmten Zeiten gleich eins. Und dann das Integral

$$\int_ {-\infty}^\infty c_1^2\psi_1^2+c_2^2\psi_2^2\,\text{d}x~+~\int_ {-\infty}^\infty2c_1c_2\psi_1\psi_2\,\text{d}x$$ sollte größer als 1 sein. Das scheint unmöglich, also wo ist mein Fehler?

Es tut mir leid, wenn die Frage an einigen Stellen unklar ist. Ich bin es nicht gewohnt, Englisch zu wissenschaftlichen Themen zu sprechen.