Normalisierte Wahrscheinlichkeitsverteilung aus der Coulomb/Rutherford-Streuamplitude?

Meine Frage erscheint elementar, aber ich war ziemlich verärgert, als ich versuchte, sie genau zu beantworten. Kann man die Rutherford/Coulomb-Streuamplitude verwenden, um eine endliche, normalisierte Impuls-Raum-Verteilung für den ausgehenden Teilchenzustand zu erhalten?

Betrachten Sie insbesondere ein ankommendes Wellenpaket$\psi_{in}(\vec{k})$was, sagen wir mal, eine Gaußsche Dynamik ist$\vec{k}$um einige zentriert$\vec{k}_0$. Angenommen, dies ist ein geladenes Teilchen und es streut ein klassisches Coulomb-Potential$V(r) = \alpha/r$. Naiverweise würde man die ausgehende Wellenfunktion so schreiben wie

$\psi(\vec{k'}) = \psi_{in}(\vec{k'}) + i \int d^3\vec{k} \ f(\vec{k'},\vec{k}) \delta(E_{k'}-E_k) \psi(\vec{k})$

wobei die Amplitude vom Winkel abhängt$\theta$zwischen$\vec{k}$Und$\vec{k'}$als

$f(\vec{k'},\vec{k}) \sim 1/(1-\cos \theta)$.

Bekanntlich divergiert dieses Ding da$\vec{k} \to \vec{k'}$, also explodiert das Integral dort, also ist der Gesamtwirkungsquerschnitt divergierend und so weiter. Das ist in Ordnung. Aber man könnte z. die Wahrscheinlichkeitsverteilung

$dP(\vec{k'}) = |\psi(\vec{k'})|^2 d^3\vec{k'} \ \ \ \ (*)$

aber es scheint bei jedem einzigartig zu sein$\vec{k'}$das unterstützt die ankommende Wellenfunktion, da bei jedem solchen Wert der vordere Teil der Amplitude divergiert.

Gibt es eine Möglichkeit, dies zu umgehen und eine endliche Verteilung zu erzeugen? Besonders verwirrend ist, dass man den optischen Satz tatsächlich aufrufen und zeigen kann, dass formal$(*)$integriert sich über alles$\vec{k'}$zur Einheit, sondern auf jeder endlichen Region von$\vec{k'}$-Raum, das Integral sieht divergierend aus!

(Betrachten Sie als Sonderfall das eingehende Paket als eine Delta-Funktion$\psi_{in}(\vec{k}) = \delta(\vec{k} - \vec{k_0})$. Dann die Wahrscheinlichkeit, in einen Raumwinkel zu streuen, der die Vorwärtsrichtung nicht enthält$\theta = 0$ist offensichtlich endlich, und Sie können den optischen Satz verwenden, um die Wahrscheinlichkeit für die Streuung in einen kleinen Raumwinkel zu schreiben$\delta \Omega$was die Vorwärtsrichtung als beinhaltet$P = 1 - \int_{S^2 / \delta \Omega} d\Omega \frac{d \sigma}{d \Omega}$, dh als 1 - (die Wahrscheinlichkeit, in einen anderen Winkel zu streuen). Aber wenn wir stattdessen ein eingehendes Wellenpaket betrachten, das eine begrenzte Unterstützung hat, scheint diese Art von Trick nicht zu funktionieren ...)