Wellenfunktionen und Wellenpakete

Nicht jede Wellenfunktion ist ein Wellenpaket. Wellenfunktionen werden häufig so betrachtet, dass sie Funktionen enthalten, die nicht richtig normalisierbar sind, wie z$\operatorname{e}^{ikx}$, also beschreiben wir sie als „normalisiert auf die Delta-Funktion“. Das heißt, wir fordern

$$\delta(k - k') = \int_{-\infty}^\infty \operatorname{d} x \psi^\star(x, k') \psi(x, k),$$ führt zu Dingen wie $\psi(x,k) = \operatorname{e}^{ikx} / \sqrt{2\pi}$.

Bei einem Wellenpaket stellen wir die strengere Anforderung, dass es in beiden normierbar und lokalisierbar ist$x$Und$p$. Das kanonische Beispiel eines Wellenpakets ist:

$$\psi(x) \propto \exp \left(-\frac{1}{4} \frac{(x - x_0)^2}{\sigma^2} + i \frac{p_0 x}{\hbar}\right),$$ was hat $\langle x\rangle = x_0$Und $\langle p \rangle = p_0$, und ist in beiden mit endlicher Breite normalisierbar $x$Und $p$Raum.

Ein weiteres Beispiel für ein Wellenpaket ist das$\operatorname{sinc}$Funktion:

$$\psi(x) \propto \frac{\sin\left(\frac{x-x_0}{2\hbar}\Delta p\right)}{(x-x_0)} \operatorname{e}^{ip_0 x / \hbar}.$$ Es ist lokalisiert in $x$, in dem Sinne, dass es normalisierbar ist und bestimmte Quantile hat, aber eine divergierende Varianz hat. In $p$es ist viel besser benommen, weil es eine Boxcar-Funktion ist , die sich ausdehnt $p_0 - \Delta p / 2$Zu $p_0 + \Delta p / 2$.