Was sind reine Zustände und Dichteoperatoren?

Ich bin mir nicht sicher, ob ich genau verstehe, was reine Zustände sind. Es ist mein Verständnis, dass:

Das Prinzip hinter Dichteoperatoren ist, dass der Zustand eines quantenmechanischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einer Teilmenge beschrieben wird { ϕ ich } seines Hilbert-Raums H die reinen Zustände genannt werden . Die reinen Zustände sind nicht notwendigerweise eine orthonormale Basis für den Raum.

Der Dichteoperator, ρ , ist einer, wo wenn ψ ∈ H ist dann irgendein Zustand ⟨ ψ | ρ | ψ ⟩ gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass das System das durch beschriebene statistische Verhalten zeigt ψ . ρ wird oft in Form der reinen Zustände dargestellt:

ρ = ∑ ich P ich | ϕ ich ⟩ ⟨ ϕ ich |
Eine Besonderheit dieser Darstellung von ρ dass die P ich sind reelle, nichtnegative Wahrscheinlichkeiten. Insbesondere ist die obige Gleichung keine komplexe Linearkombination. (Im Gegensatz zu beispielsweise seiner Darstellung in Bezug auf andere Basen für H ).

Wir sagen, dass ein System in einem reinen Zustand ist , wenn T R ρ = 1 und es ist in einem gemischten Zustand, wenn T R ρ < 1

Ich glaube, ich übersehe vielleicht den Punkt, warum einige Zustände als „rein“ bezeichnet werden, während andere als „gemischt“ identifiziert werden.

Ist die Wahl der reinen Zustände für ein bestimmtes quantenmechanisches System einzigartig oder zumindest kanonisch? Wenn ja, wie dann?

Antworten (1)

Intuitiv ist ein reiner Zustand ein Zustand, der „vollständig innerhalb“ des Hilbert-Raums liegt, dh das System, das er beschreibt, ist mit nichts außerhalb des Hilbert-Raums verschränkt. Beispielsweise ist für zwei Spins, die in der Singulett-Konfiguration verschränkt sind, der Zustand der beiden Spins zusammen ein reiner Zustand, da die beiden Spins mit nichts anderem verschränkt sind . Aber wenn wir den Hilbert-Raum von nur einem der Spins betrachten, dann können wir diesen einen Spin nicht durch einen reinen Zustand in diesem reduzierten Hilbert-Raum beschreiben, weil dieser Spin mit dem anderen Spin verschränkt ist.

Mathematisch gesehen sind die reinen Zustände nur die einzelnen Vektoren im Hilbert-Raum (oder technisch die eindimensionalen Unterräume, die aus einem Vektor und all seinen konstanten Vielfachen bestehen und die Freiheit widerspiegeln, eine nicht normalisierte Wellenfunktion zu wählen oder mit einer konstanten Phase zu multiplizieren ). Die gemischten Zustände entsprechen positiv-semidefiniten hermiteschen Operatoren auf dem Hilbert-Raum. Gemischte Zustände werden manchmal als „klassische Kombinationen“ im Gegensatz zu „Quantenüberlagerungen“ reiner Zustände beschrieben, aber ehrlich gesagt hat mir diese Erklärung nie eine Intuition gegeben, bis ich die Mathematik dahinter verstanden habe.

Okay, wenn ich das richtig verstehe, ist der "Zustand" eines Systems eigentlich ein hermitischer Operator H , kein Element selbst. Ein reiner Zustand ist ein Operator der Form | ψ ⟩ ⟨ ψ | für einige ψ ∈ H . Ist das korrekt?
Ja, das ist genau richtig. Im Spezialfall eines reinen Zustands | ψ ⟩ (nicht mit irgendetwas Äußerem verstrickt), der Staat | ψ ⟩ ⟨ ψ | ist nur der Projektionsoperator in den Unterraum konstanter Vielfacher von | ψ ⟩ . Aber im einfachen Fall eines reinen Zustands müssen Sie diesen Projektor nicht wirklich verwenden - Sie können einfach mit dem Ket arbeiten | ψ ⟩ selbst.
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