Hilbert-Raum in Diracs Darstellung

Ich habe hier einige alte Beiträge zum Physik-Stack-Austausch gelesen und mir ist etwas klar geworden, das mir noch nie zuvor passiert ist.

Lassen$\mathscr{H}$sei ein Hilbert-Raum vorbei$\mathbb{C}$. Ein Orthonormalsystem ist eine Familie$\{e_{\alpha}\}_{\alpha \in I}$von$\mathscr{H}$so dass$\langle e_\alpha, e_{\beta}\rangle =0$Wenn$\alpha \neq \beta$Und$\langle e_{\alpha},e_{\alpha}\rangle \equiv ||e_{\alpha}||^{2} = 1$. Lassen Sie uns der Einfachheit halber festlegen$I = \mathbb{N}$so dass unser Orthonormalsystem abzählbar unendlich ist. Die Summe:

$$\begin{eqnarray} \sum_{n\in \mathbb{N}}\alpha_{k}e_{k} \quad \mbox{$\alpha_{n}\in \mathbb{C}$, for every $n\in \mathbb{N}$} \tag{1}\label{1} \end{eqnarray}$$ konvergiert ein$\mathscr{H}$dann und nur dann, wenn: $$\begin{eqnarray} \sum_{n\in \mathbb{N}}|\alpha_{n}|^{2} <+\infty \tag{2}\label{2} \end{eqnarray}$$ In diesem Fall, wenn$x= \sum_{n\in \mathbb{N}}\alpha_{n}e_{n}$, kann bewiesen werden, dass die Koeffizienten$\alpha_{n}$werden von gegeben$\alpha_{n}=\langle e_{n},x\rangle$, so dass: $$\begin{eqnarray} x = \sum_{n\in \mathbb{N}}\langle e_{n},x\rangle e_{n}\tag{3}\label{3} \end{eqnarray}$$ Wenn zusätzlich$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ist ein vollständiges Orthonormalsystem, was bedeutet, dass es kein anderes Orthonormalsystem enthält$\{e_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$als echte Teilmenge, every $x\in \mathscr{H}$kann geschrieben werden wie in ( $\ref{3}$).

Kommen wir nun zur Quantenmechanik in Diracs Notation. Üblicherweise betrachtet man einen Hilbertraum$\mathscr{H}$und Elemente seine Elemente$|\psi\rangle$. Vermuten$|x\rangle$ist eine Eigenfunktion des Ortsoperators$\hat{x}$.

$$\begin{eqnarray} |\psi\rangle = \int dx \psi(x) |x\rangle \tag{4}\label{4} \end{eqnarray}$$ Dies ist eine Analogie zu dem, was in ( $\ref{3}$), wobei diesmal die Koeffizienten gegeben sind durch: $$\langle x| \psi \rangle = \psi(x)$$ Als es unsere dreht,$\psi(x)$ist Bestandteil eines Staates$|\psi\rangle$im Hilbertraum$\mathscr{H}$, aber es ist genau das, was man normalerweise verwendet, wenn man sich mit Wellenquantenmechanik beschäftigt, dh$\psi(x)$ist genau das, was man erhält, wenn man die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung löst: $$\bigg{[}-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2} + V(x)\bigg{]}\psi(x) = E\psi(x)$$

Nun, hier ist meine Frage.

Wenn man sich mit der rigorosen Behandlung der Quantenmechanik befasst, setzt man normalerweise den Hilbert-Raum als Ausgangspunkt$L^{2}(\mathbb{R}^{d})$(zumindest für die übliche Behandlung von Lehrbuchproblemen). Dies scheint aber der geeignete Hilbert-Raum für die Koeffizienten zu sein $\psi(x)$, nicht der ursprüngliche abstrakte Hilbertraum von Vektoren$|\psi\rangle$. Unter Verwendung der vorherigen Analogie, Ausdruck ($\ref{3}$) sagt uns, dass wenn$x \in \mathscr{H}$dann die Koeffizienten$\alpha_{k}$sind Elemente von$\ell^{2}(\mathbb{N})$. Ist meine Analyse also richtig? Mit anderen Worten, ist der Hilbert-Raum$\mathscr{H}$von Dirac-Vektoren$|\psi\rangle$ein abstrakter Hilbert-Raum, und die Verwendung der Orts-Eigenbasis erfordern die Wellenfunktionen (Koeffizienten$\psi(x)$) Elemente eines anderen Hilbert-Raums sein$L^{2}(\mathbb{R}^{d})$?

EDIT: Mir ist gerade aufgefallen, dass im zitierten Beispiel der Hilbert-Zustandsraum ist$|\psi\rangle$sollte auch sein$L^{2}(\mathbb{R})$um den Operator zu verstehen$\hat{x}$als Multiplikationsoperator. In jedem Fall bleibt die Moral: der Gebrauch von$L^{2}(\mathbb{R})$als Raum der Wellenfunktionen$\psi(x)$ist unabhängig vom Hilbert-Zustandsraum$|\psi\rangle$?