Warum stellen wir Zustandsvektoren mit Ket-Vektoren dar?

Nach dem, was ich derzeit verstehe, ist ein allgemeiner Zustandsvektor gegeben | ψ ⟩ die Wellenfunktion:

ψ ( X ) = ⟨ X | ψ ⟩
den Vektor darstellen | ψ ⟩ in der Basis der Eigenwerte des Ortsoperators. Ebenso die Wellenfunktion
ψ ( P ) = ⟨ P | ψ ⟩
stellen den gleichen Vektor dar, aber in der Basis des Impulses. In der Praxis können wir uns Wellenfunktionen als Spaltenvektoren mit unendlich vielen Einträgen vorstellen, einen für jede reelle Zahl.

Also, wenn wir schreiben | ψ ⟩ wollen wir den abstrakten Vektor darstellen | ψ ⟩ ohne Bezug auf eine bestimmte Basis? Warum tun wir das? In der freundlichen linearen 3D-Algebra denken wir fast immer an Vektoren im Zusammenhang mit einer bestimmten Darstellung von ihnen in einer Basis. Wäre es nicht einfacher, Zustandsvektoren immer in einer bestimmten Basis darzustellen, also als Wellenfunktionen? Ich sage das, weil die Verwendung dieser doppelten Darstellungsweise von Vektoren manchmal zu Verwirrung führt; Zum Beispiel: In QM-Vorlesungen kommt es oft vor, dass ein bestimmter Operator als auf Ket-Vektoren wirkend beschrieben wird:

A | ψ ⟩
und nach einer Weile wird derselbe Operator ohne weitere Erklärung als auf Funktionen wirkend gezeigt:
A ψ ( X )
Aber es gibt einige Operationen, die nur sinnvoll sind, wenn sie auf Funktionen und nicht auf Ket-Vektoren angewendet werden. Warum stellen wir die Dinge so dar? Warum verwenden wir nicht nur die Wellenfunktionsdarstellung von Vektoren in einer bestimmten Basis?

Wellenfunktionen ψ ( X ) stellen die Komponenten der Vektoren dar | ψ ⟩ . Wenn wir einen Operator verwenden, der auf handelt | ψ ⟩ , man kann den gleichen Operator aber in einer anderen Darstellung weiter verwenden ψ ( X ) . Zum Beispiel der Impulsoperator − ich ℏ D D X wirkt auf ψ ( X ) , aber es ist eine spezielle Darstellung des allgemeinen Operators P ^ X Einwirken auf | ψ ⟩ .
Ich stimme Ihrer Behauptung nicht zu, dass die Auswahl einer Darstellung eines Vektors einfacher ist. Tatsächlich versuche ich, es so weit wie möglich zu vermeiden. Die spezifische Darstellung ist überflüssige Information, und überflüssige Dinge sind bestenfalls überflüssig, schlimmstenfalls verwirrend.
Ich würde gerne darauf antworten, aber ich zögere, Zeit darauf zu verwenden, weil ich eine ziemlich ausführliche Antwort auf Ihre andere Frage geschrieben habe , die noch nicht gelöst wurde. Ich habe angeboten, Ihre Verwirrung im Chat weiterzuverfolgen, und ich würde die Antwort gerne so weit verbessern, dass sie akzeptiert werden kann. Bitte lassen Sie mich wissen, wenn Sie daran interessiert wären.
Eines sage ich jedoch: Diese ganze Angelegenheit hat absolut nichts mit Quantenmechanik zu tun. Bei diesem ganzen Thema geht es nur darum, ob wir in einer bestimmten Basis oder mit einer basisunabhängigen Darstellung der Vektoren arbeiten. Notationen wie z A ψ ( X ) sind nicht konsistent und sollten nicht verwendet werden. Ich werde eine umfassendere Antwort schreiben, sobald wir Ihre vorherige Frage geklärt haben.
In der freundlichen linearen 3D-Algebra denken wir fast immer an Vektoren im Zusammenhang mit einer bestimmten Darstellung von ihnen in einer Basis. Haben Sie noch nie abstrakt eine Matrix als geschrieben M und ein Vektor als v ?
„Aber es gibt einige Operationen, die nur Sinn machen, wenn sie auf Funktionen und nicht auf Ket-Vektoren angewendet werden.“ Wie was? Hast du Diracs Standardtext gelesen?

Antworten (1)

In QM-Vorlesungen kommt es häufig vor, dass ein bestimmter Operator als auf Ket-Vektoren wirkend beschrieben wird A | ψ ⟩ und nach einer Weile wird derselbe Operator ohne weitere Erklärung als auf Funktionen wirkend gezeigt A ψ ( X ) .

Das ist nicht richtig. Sie haben es vielleicht irgendwo gesehen, aber der Autor war schlampig oder hat die Notation missbraucht.

Lassen | ψ ⟩ sei ein abstrakter Ket-Vektor. Wenn wir es in der kontinuierlichen Positionsbasis darstellen möchten, können wir den Identitätsoperator einfügen 1 = ∫ | X ⟩ ⟨ X | D X und erhalten

| ψ ⟩ = ∫ | X ⟩ ⟨ X | ψ ⟩ D X = ∫ | X ⟩ ψ ( X ) D X
Grob gesagt, ψ ( X ) ist die Komponente von | ψ ⟩ entlang des Basisvektors | X ⟩ . Wenn Sie sich etwas als unendlich langen Spaltenvektor vorstellen möchten, dann sollte es so sein | ψ ⟩ , nicht ψ ( X ) (was nur eine komplexe Zahl ist).

Ebenso, wenn A ein abstrakter Operator ist, dann können wir ihn auf abstrakte Kets wirken lassen | ψ ⟩ als A | ψ ⟩ . Erweitern | ψ ⟩ heraus in der Position Basis, finden wir

A | ψ ⟩ = ∫ A | X ⟩ ψ ( X ) D X

A ist immer noch ein abstrakter Operator, der auf ein Ket wirkt (in diesem Fall | X ⟩ ), keine Funktion. Wenn wir einen anderen Identitätsoperator einfügen ∫ | j ⟩ ⟨ j | D j , wir finden

A | ψ ⟩ = ∬ | j ⟩ ⟨ j | A | X ⟩ ψ ( X ) D j   D X

Das Objekt ⟨ j | A | X ⟩ ≡ A j X ist der j X Bestandteil des abstrakten Operators A . Dieses Objekt wirkt auf Funktionen. Das Ergebnis ist das

A | ψ ⟩ = ∬ | j ⟩ A j X ψ ( X ) D j   D X

Zum Beispiel der Positionsoperator Q hat Komponenten Q j X ≡ ⟨ j | Q | X ⟩ = δ ( j − X ) ⋅ X während der Impulsoperator Komponenten hat P j X ≡ ⟨ j | P | X ⟩ = − ich ℏ δ ( j − X ) D D X . Wir hätten also

Q | ψ ⟩ = ∫ | X ⟩ X ⋅ ψ ( X ) D X
P | ψ ⟩ = ∫ | X ⟩ ( − ich ℏ ) ψ ' ( X ) D X

Wenn wir sehr streng sind, würden wir sagen, dass der Positionsoperator Q frisst ein Ket mit Orts-Raum-Wellenfunktion ψ ( X ) und spuckt ein Ket mit Orts-Raum-Wellenfunktion aus X ψ ( X ) . Wir entspannen uns jedoch oft etwas und sagen das Q frisst eine Wellenfunktion ψ ( X ) und spuckt aus X ψ ( X ) .

Der Grund, warum wir Kets überhaupt verwenden, ist, dass es sehr praktisch sein kann, sich nicht auf eine bestimmte Basis zu beschränken. Ich finde es sehr schwer zu glauben, dass Sie die Vektornotation noch nie verwendet haben R → im Gegensatz zur Indexnotation R ich , und das ist genau dasselbe. Der einzige Unterschied besteht darin, dass der Index ich In R ich läuft vorbei { 1 , 2 , 3 } , während der Index X In ψ ( X ) läuft vorbei R .

Ich denke, dass Ihre Antwort viel Verwirrung stiften kann. Verstehen Sie mich nicht falsch, ich denke, Ihre Antwort ist völlig richtig, aber ich habe ein Problem damit. ϕ ( X ) ist eine Zahl, wenn X ist fest, wie auch immer wir oft interpretieren ϕ ( X ) nicht als Zahl, sondern als Funktion bilden Funktionen tatsächlich einen komplexen Vektorraum und können als Vektor mit unendlichen Einträgen gedacht werden. Alles, was Sie antworten, basiert auf der Vorstellung, dass ϕ ( X ) ist eine Zahl in meiner Frage, aber ich wollte sagen ϕ ( X ) als eine Funktion. Ich denke, dass dies besser wäre, anstatt zu verwenden | ϕ ⟩ . Verstehst du meinen Punkt? Wenn nicht, lassen Sie es mich wissen.
@Noumeno Ich glaube, Sie missverstehen meine Antwort. Es steht Ihnen frei, ausschließlich in der Positionsdarstellung zu arbeiten, wenn Sie jedoch die Bra-Ket-Notation verwenden möchten, müssen Sie verstehen, dass es einen Unterschied zwischen einem abstrakten Operator (der auf abstrakte Kets wirkt) und dem Positionsraum gibt Darstellung des Operators (der auf Wellenfunktionen einwirkt).
Ja, das habe ich verstanden, und ich denke, Sie haben vollkommen recht. Aber ich denke auch, dass wir uns Funktionen als komplexe Vektoren in unendlicher Dimension vorstellen können. In Ihrer Antwort scheinen Sie anzudeuten, dass wir dies nur über Ket-Vektoren denken können, auch das finde ich F ( X ) ist keine Zahl, wie Sie sagen, weil es eine Zahl sein kann, wenn X ist fest, kann aber auch eine Funktion darstellen, wenn X ist nicht fixiert. Ihre Antwort enthält also einige problematische Teile. Stimmen Sie zu oder übersehe ich diesbezüglich etwas? Aber die Hauptaussage der Antwort ist meiner Meinung nach natürlich richtig.
@Noumeno Entweder arbeitest du in Bra-Ket-Notation oder nicht. Wenn ja, dann ϕ ( X ) sollte als Komponente Ihres Vektors entlang des Basisvektors betrachtet werden | X ⟩ . Wenn Sie nicht in Klammerschreibweise arbeiten, dann ist der Vektor die Funktion ϕ . Es scheint mir, dass Sie versuchen, beide Konventionen zu mischen, was keine gute Idee ist.
Ich versuche zu argumentieren, dass die zweite Konvention die bessere ist, trotzdem verstehe ich Ihren Standpunkt.
@Noumeno Wenn Sie versuchen, mathematisch streng zu sein, finde ich die zweite Konvention auch vorzuziehen. Allerdings finde ich es schwierig zu argumentieren, dass die Bra-Ket-Notation auf der Ebene der Standardphysiker nicht wesentlich bequemer ist, insbesondere wenn es um Dinge wie die Störungstheorie geht.
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