Sollten Zustandsvektoren als konstant betrachtet werden?

Nach dem Superpositionsprinzip kann ein Zustandsvektor definiert werden als

$$\begin{align} \psi(x) &= c_1 \psi_1(x) + c_2 \psi_2(x) + \cdots + c_n \psi_n(x) \\ \lvert\psi\rangle &= \begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix} = c_1\lvert\varepsilon_1\rangle + c_2\lvert\varepsilon_2\rangle + \cdots + c_n\lvert\varepsilon_n\rangle \end{align}$$ Wo $c_n = \langle \varepsilon_n\lvert \psi\rangle$. Außerdem kann der Zustandsvektor eine Wellenfunktion in einem kontinuierlichen Fall wie in darstellen $$\begin{align} \lvert\psi\rangle &= \begin{pmatrix}\psi(x\to -\infty) \\ \vdots \\ \psi(x=0) \\ \vdots \\ \psi(x = 0.000\ldots 01) \\ \psi(x = 0.000\ldots 02) \\ \vdots \\ \psi(x\to\infty)\end{pmatrix} \tag{1} \\ &= \psi(x\to -\infty)\lvert x\to -\infty\rangle + \cdots + \psi(x = 0)\lvert x=0\rangle + \cdots \end{align}$$

Meine erste Frage ist, in der Reihenfolge der Ausdrücke

$$\begin{align} \langle\psi\lvert\psi\rangle &= \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^{*}(x)\psi(x)\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle x\lvert\psi\rangle^* \langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle\psi\lvert x\rangle \langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \color{red}{\langle\psi\lvert}\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert x\rangle \langle x\rvert\ \mathrm{d}x\ \color{red}{\lvert\psi\rangle} \\ &= \langle\psi\rvert \hat{\mathbb{1}}\lvert\psi\rangle \end{align}$$ mit $\hat{\mathbb{1}} = \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\ \lvert x\rangle\langle x\rvert$, warum kann der Zustandsvektor aus dem Integral herausgezogen werden?

Ich habe eine Idee, aber ich denke, es sollte falsch sein:

Wie in Gleichung (1) gezeigt, ist der Zustandsvektor ein Satz von Werten, so dass jedes Element der Wert der Wellenfunktion ist, z$\psi(0)$,$\psi(0.002)$usw. Daher kann es als eine Konstante betrachtet werden, da sich jedes Element niemals ändern wird. Daher kann es aus dem Integral herausgezogen werden.

Diese Idee kann jedoch den beobachtbaren Fall nicht erklären. Betrachten Sie einen Operator, der eine Impulskomponente enthält, einen Differentialoperator,$\hat{Q}(x, \frac{\hbar}{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})$. Der Erwartungswert dieses Operators ist

$$\begin{align} \langle\hat{Q}\rangle &= \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*(x)\hat{Q}\psi(x)\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle x\lvert\psi\rangle^*\hat{Q}\langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}\langle\psi\lvert x\rangle\hat{Q}\langle x\lvert\psi\rangle\ \mathrm{d}x \\ &= \color{red}{\langle\psi\rvert}\int_{-\infty}^{+\infty}\lvert x\rangle\hat{Q}\langle x\rvert\ \mathrm{d}x\ \color{red}{\lvert\psi\rangle} \\ &= \langle\psi\rvert\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}x\ \lvert x\rangle\langle x\rvert\color{blue}{\hat{Q}}\lvert\psi\rangle \tag{2} \\ &= \langle\psi\rvert\hat{\mathbb{1}}\hat{Q}\lvert\psi\rangle \\ &= \langle\psi\rvert\hat{Q}\lvert\psi\rangle \end{align}$$ Wenn der Zustandsvektor konstant ist, sollte er Null ergeben, wenn ein Impulsoperator darauf einwirkt, und die Dirac-Darstellung wird fehlschlagen.

1. Wenn es also keine Konstante ist, wie kann es dann aus dem Integral herausgezogen werden?

2. Meine zweite Frage ist, warum in Gleichung (2) der Operator$\hat{Q}$überspringe die$\langle x\rvert$Vektor und wirken auf den Zustandsvektor?