Kann der Erwartungswert imaginär sein?

Ich habe ein Problem gelöst und das Ergebnis war der Erwartungswert eines Operators − ℏ 4 ich . Ist dieses Ergebnis möglich? Es scheint kontraintuitiv zu sein.

↑ Welcher Betreiber?

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Wenn A selbstadjungiert ist, können Sie definieren F ( A ) als komplexwertige Observable, wo F : R → C ist eine messbare komplexwertige Funktion:

F ( A ) := ∫ σ ( A ) F ( X ) D P ( A ) ( X ) ,
P ( A ) ist das spektrale Maß (projektorbewertet) von A . N = F ( A ) ist ein abgeschlossener Normaloperator und erlaubt eine spektrale Zerlegung P ( N ) auf dem Spektrum unterstützt σ ( N ) ⊂ C von N und konstruiert aus P ( A ) Und F . Es ist möglich, den Erwartungswert von zu definieren N auf einen reinen Zustand bezogen, der durch einen normalisierten Vektor dargestellt wird ψ Zugehörigkeit zur Domäne D ( N ) von N
⟨ N ⟩ ψ := ∫ σ ( N ) z D ⟨ ψ | P ( N ) ( z ) ψ ⟩ = ⟨ ψ | N ψ ⟩
seit σ ( N ) umfasst im Allgemeinen komplexe Zahlen, ⟨ N ⟩ ψ ist eine komplexe Zahl.

Zusammenfassend existieren komplexe Erwartungswerte, sobald Sie komplexwertige Observablen definieren. Es gibt kein mathematisches Hindernis dabei. Trotzdem kann man eine komplexe Observable immer zerlegen N in ein Paar von reellen (selbstadjonten) Standardobservablen (gegenseitig kompatibel), ( N + N ∗ ) / 2 Und − ich ( N − N ∗ ) / 2 und verwenden Sie die Standardtheorie (beachten Sie einige Feinheiten in Bezug auf Domänen). Dieser Weg ist einfacher und, denke ich, der Grund, warum komplexe Observablen nicht sehr oft in der Literatur auftauchen.

Hübsch. Gibt es einen Fall, in dem eine komplexwertige Observable Einblick in ein System gibt?

Wenn der Operator nicht selbstadjungiert ist, dann ist dies eine Möglichkeit. Wenn Sie auf phys.SE suchen, finden Sie Fragen zum Erwartungswert von xp im Fall des QHO, und dies stellt sich als Einbildung heraus

Kann der Erwartungswert imaginär sein?
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